YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= căn( a^2−ab+b^2)/căn(ab+1)+ căn(b^2−bc+c^2)/căn(bc+1) + căn(c^2−ca+a^2)/ căn(ca+1)

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2-bc+c^2}}{\sqrt{bc+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2-ca+a^2}}{\sqrt{ca+1}}\)

Ace Legona giải giúp e vs

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Ngọc Phương

    ta có :\(a^2-ab+b^2=\left(a+b\right)^2-3ab\ge\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)(theo BĐT AM-GM)

    \(\Rightarrow P\ge\sum\dfrac{a+b}{2\sqrt{ab+1}}\)

    ÁP dụng BĐT AM-GM:

    \(\dfrac{a+b}{2\sqrt{ab+1}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{bc+1}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{ca+1}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8\sqrt{\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)}}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)}}}\)

    Mà \(\sqrt[3]{\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)}\le\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca+3\right)\)

    \(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{\left(ab+bc+ca+3\right)}}\)(*)

    ta liên tưởng đến BĐT phụ:\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)

    Cm: phân tích :\(VT=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(x+z\right)+2xyz\)

    \(=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(z+x\right)+3xyz-xyz\)

    \(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-xyz\)

    mà \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)

    nên \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

    Áp dụng:

    \(1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

    mặt khác,theo AM-GM,dễ dàng chứng minh được \(a+b+c\ge\dfrac{3}{2}\)

    nên \(1\ge\dfrac{8}{9}.\dfrac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{4}\)

    từ (*)\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{\dfrac{3}{4}+3}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)

    Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

      bởi Ngọc Phương 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON