YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng A=căn(a^2/a^2+b+c)+căn(b^2/b^2+c+a)+căn(c^2/c^2+a+b)≤căn3

cho a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

chứng mỉnh rằng \(A=\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2+a+b}}\le\sqrt{3}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Koshiba Kiri

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

    \(\Rightarrow a^2+b+c\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+b+c}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

    \(A\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(a\sqrt{1+b+c}=\dfrac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+bc}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{4a+ab+bc}{2\sqrt{3}}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

    \(\Rightarrow\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\dfrac{2(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{\sqrt{3}(a+b+c)}\)

    \(\le\dfrac{2(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{\sqrt{3}(a+b+c)}\le\dfrac{2+\dfrac{a+b+c}{3}}{\sqrt{3}}\le\sqrt{3}\)

    Hay \(A\le\sqrt{3}\) *ĐPCM*

      bởi Koshiba Kiri 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON