YOMEDIA
NONE

Cho \(x,y,z\) là các số dương. Chứng minh \(\dfrac{{2\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}} + \dfrac{{2\sqrt y }}{{{y^3} + {z^2}}} + \dfrac{{2\sqrt z }}{{{z^3} + {x^2}}} \le \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}\)

Cho \(x,y,z\) là các số dương. Chứng minh \(\dfrac{{2\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}} + \dfrac{{2\sqrt y }}{{{y^3} + {z^2}}} + \dfrac{{2\sqrt z }}{{{z^3} + {x^2}}} \le \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}\) 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Pham Thi

    Do \(x,y,z > 0\)

    Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có:

    \(\begin{array}{l}{x^3} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^3}{y^2}}  = 2\sqrt x .xy\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{x^3} + {y^2}}} \le \dfrac{1}{{2\sqrt x .xy}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}} \le \dfrac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x .xy}}\\ \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}} \le \dfrac{1}{{xy}}\end{array}\)

    Chứng minh tương tự ta có:

     \(\begin{array}{l}\dfrac{{2\sqrt y }}{{{y^3} + {z^2}}} \le \dfrac{1}{{yz}}\\\dfrac{{2\sqrt z }}{{{z^3} + {x^2}}} \le \dfrac{1}{{zx}}\end{array}\)

    \( \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}} + \dfrac{{2\sqrt y }}{{{y^3} + {z^2}}} + \dfrac{{2\sqrt z }}{{{z^3} + {x^2}}} \le \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{zx}}\left( 1 \right)\)

    Mặt khác

    \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}}.\dfrac{1}{{{y^2}}}}  = \dfrac{2}{{xy}}\\\dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{{y^2}}}.\dfrac{1}{{{z^2}}}}  = \dfrac{2}{{yz}}\\\dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{{z^2}}}.\dfrac{1}{{{x^2}}}}  = \dfrac{2}{{xz}}\\ \Rightarrow 2\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) \ge 2\left( {\dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}}} \right)\end{array}\)

    \( \Rightarrow \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} \le \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}\,\,\left( 2 \right)\)

    Từ (1) và  (2) ta suy ra: \(\dfrac{{2\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}} + \dfrac{{2\sqrt y }}{{{y^3} + {x^2}}} + \dfrac{{2\sqrt z }}{{{z^3} + {x^2}}} \le \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}\)

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

      bởi Pham Thi 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON