YOMEDIA
NONE

Cho biết rằng hai số thực dương \(a,\;b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - {a^2}} + \sqrt {1 - {b^2}} + \dfrac{{3ab}}{{a + b}}.\)

Cho biết rằng hai số thực dương \(a,\;b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}}  + \dfrac{{3ab}}{{a + b}}.\) 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hoang Viet

    Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {a^2} + \dfrac{8}{9} \ge 2\sqrt {\dfrac{8}{9}\left( {1 - {a^2}} \right)}  = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}.\sqrt {1 - {a^2}} \\1 - {b^2} + \dfrac{8}{9} \ge 2\sqrt {\dfrac{8}{9}\left( {1 - {b^2}} \right)}  = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}.\sqrt {1 - {b^2}} \end{array} \right.\)

    Khi đó \(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}.\left( {\sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}} } \right) \le \dfrac{{17}}{9} - {a^2} + \dfrac{{17}}{9} - {b^2} = \dfrac{{34}}{9} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right).\)

    Ta có \(\dfrac{{1 - a - b}}{3} = ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

    \(\Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\)

    \(\Leftrightarrow a + b \ge \dfrac{2}{3}.\)

    Và \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \ge \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{2}{9}\) suy ra \(\dfrac{{34}}{9} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le \dfrac{{32}}{9} \Rightarrow \sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}}  \le \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}.\)

    Lại có \(\dfrac{{3ab}}{{a + b}} = \dfrac{{1 - a - b}}{{a + b}} = \dfrac{1}{{a + b}} - 1\) mà \(a + b \ge \dfrac{2}{3} \)

    \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{3}{2}\) suy ra \(\dfrac{{3ab}}{{a + b}} \le \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}.\)

    Do đó \(P = \sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}}  + \dfrac{{3ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3} + \dfrac{1}{2}.\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \dfrac{1}{3}.\)

    Vậy \({P_{\max }} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3} + \dfrac{1}{2}.\)

      bởi Hoang Viet 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF