Chứng minh AK vuông góc MN biết K là trung điểm của BC và AM=AC

a, Xét \(\Delta AKC\) và \(\Delta PKB\) có:

AK = KP (gt)

\(\widehat{AKC}=\widehat{PKB}\) (đối đỉnh)

KC = KB (gt)

\(\Rightarrow\Delta AKC=\Delta PKB\) (c.g.c)

b, Từ \(\Delta AKC=\Delta PKB\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{KPB}\) và AC = BP

Vì \(\widehat{CAK};\widehat{PKB}\) là cặp góc so le trong nên AC // BP

c, Có: \(\widehat{ABP}+\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\widehat{ABP}=180^o-\widehat{BAC}\) (1)

\(\widehat{NAM}+\widehat{MAC}+\widehat{BAC}+\widehat{NAB}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NAM}=360^o-\widehat{MAC}-\widehat{BAC}-\widehat{NAB}=360^o-90^o-\widehat{BAC}-90^o=180^o-\widehat{BAC}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABP}=\widehat{NAM}\)

Lại có: AC = BP (theo câu b)

AM = AC (gt)

=> BP = AM

Xét \(\Delta ABP\) và \(\Delta NAM\) có:

\(\widehat{ABP}=\widehat{NAM}\left(cmt\right)\)

BP = AM (cmt)

AB = AN (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABP=\Delta NAM\left(c.g.c\right)\)

d, Từ \(\Delta ABP=\Delta NAM\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{ANM}\)

Gọi H là giao điểm của AK với MN

Ta có: \(\widehat{HAN}+\widehat{NAB}+\widehat{BAP}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HAN}+\widehat{BAP}=90^o\) hay \(\widehat{HAN}+\widehat{ANM}=90^o\)

Ta có: \(\widehat{HAN}+\widehat{ANM}+\widehat{NHA}=180^o\Rightarrow\widehat{NHA}=90^o\)

=> AK _|_ MN tại H