Chứng minh AK=AI biết tam giác ABC cân tại A có các đường cao BI, CK

a) Xét \(\Delta ABI;\Delta ACK\) có :

\(\widehat{AIB}=\widehat{AKC}\left(=90^o\right)\)

\(AB=AC\left(\Delta ABCcântạiA\right)\)

\(\widehat{A}:chung\)

=> \(\Delta ABI=\Delta ACK\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AK = AI (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta AKI\) có :

AK =AI (câu a)

=> \(\Delta AKI\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AKI}=\widehat{AIK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AKI}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> KI // AB (ĐPCM)

c) Xét \(\Delta KBC;\Delta IBC\) có :

\(\widehat{BKC}=\widehat{CIB}\left(=90^{^o}\right)\)

\(BC:chung\)

\(\widehat{KBC}=\widehat{ICB}\left(\Delta ABCcân\right)\)

=> \(\Delta KBC=\Delta IBC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{KCB}=\widehat{IBC}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta HBC\) có :

\(\widehat{HCB}=\widehat{HBC}\) (do \(\widehat{KCB}=\widehat{IBC}\))

=> \(\Delta HBC\) cân tại H

Do đó: HB = HC (đpcm)

d) Xét \(\Delta ABH;\Delta ACH\) có:

\(AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\)

\(AH:Chung\)

\(BH=CH\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(2 góc tương ứng)

=> AH là tia pahan giác của \(\widehat{BAC}\)

Xét \(\Delta AKI\) cân tại A có :

AH là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (cmt)

=> AH đồng thời là đường trung trực trong tam giác ABC

Suy ra : \(AH\perp BC\left(đpcm\right)\)