Chứng minh một số tự nhiên khác 0 có số ước lẻ là số chính phương

Giả sử 1 số tự nhiên (stn) N khác 0 có thể phân tích ra thừa số nguyên tố như sau :
N=(p^a)(q^b)...(s^d) (p,q,...,s là số nguyên tố)
Các ước số của N đều có dạng (p^a')(q^b')...(s^d') trong đó
a' có a+1 khả năng (a'=0,1,2,...,a)
b' có b+1 khả năng (b'=0,1,2,...,b)
..........................................
d' có d+1 khả năng (d'=0,1,2,...,d)
Vậy stn N có đúng (a+1)(b+1)...(d+1) ước.
Nếu số ước của N là lẻ =>a+1,b+1,...,d+1 đều lẻ
=>a,b,...,d đều chẵn =>N là số chính phương.
---------------------------------------...
@Cách 2 :
Ta thấy rằng nếu a là ước của stn M thì v=M/a cũng là ước của M.
Và nếu b là ước của M (b > a) thì u=M/b cũng là ước của M và u < v.
Như vậy nếu M có tất cả n ước và ta sắp xếp n ước đó từ nhỏ đến lớn
a1 < a2 < a3 < ... < a(n) thì ta luôn luôn có :
a1.a(n) = a2.a(n-1) = a3.a(n-2) = ... = M
+Nếu n chẵn (n=2k) thì ta có :
..a1.a(2k)=a2.a(2k-1)=a3.a(2k-2)=...=
=a(k).a(k+1)=M
+Nếu n lẻ (n=2k+1) thì ta có :
..a1.a(2k+1)=a2.a(2k)=...=a(k).a(k+2)=
=\(\left[a\left(k+1\right)^2\right]\) =M
..Vậy khi n lẻ thì M là số chính phương \(M=\left[a\left(k+1\right)^2\right]\)
---------------------------------------...
@Đối với hs lớp 6, giảng bằng lời có lẽ tốt hơn :
Nếu a là ước của M thì \(\frac{M}{a}\) cũng là ước của M.Như vậy :
+Nếu M có số ước chẵn thì có thể chia tất cả các ước đó thành những cặp có tích bằng M và ko thừa ước nào.
+Nếu M có số ước lẻ thì khi chia như thế vẫn còn thừa 1 ước ko thể "bắt cặp" với ước nào khác (để tạo thành cặp có tích bằng M), ta tạm gọi là s.Đặt t=\(\frac{M}{s}\).Rõ ràng t cũng là ước của M.Nhưng t ko thể lớn hơn s, vì như thế thì t và s sẽ tạo thành 1 cặp có tích bằng M nghĩa là s ko phải là ước "đơn độc" như đã nói trên.Và t cũng ko thể nhỏ hơn s (lý do cũng y như vậy).Vậy t=s tức là M=s.t=\(s^2\)=\(t^2\)
Nói cách khác khi M có số ước lẻ thì M là số chính phương.