Chứng minh 1+4+4^2+...+4^11 chia hết cho 5 và 21

a, \(1+4+4^2+...+4^{11}\)

Đặt : \(S=1+4+4^2+...+4^{11}\)

Ta có : Số số hạng của dãy số S chính là số số hạng của dãy số cách đều từ 0 --> 11 mỗi số cách nhau 1 đơn vị

=> Số số hạng của S là : \(\frac{11-0}{1}+1=12\) ( số hạng )

Vậy ta có số nhóm là :

12 : 2 = 6 ( nhóm ) :

\(S=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+...+\left(4^{10}+4^{11}\right)\) ( 6 nhóm )

\(\Rightarrow S=\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+...+4^{10}\left(1+4\right)\)

\(\Rightarrow S=1.5+4^2.5+...+4^{10}.5\)

\(\Rightarrow S=\left(1+4^2+...+4^{10}\right).5\)

Mà : \(1+4^2+...+4^{10}\in N\Rightarrow S⋮5\)

---------

Tương tự để chứng minh S chia hết cho 21 ta có số nhóm là :

12 : 3 = 4 ( nhóm )

\(S=\left(1+4+4^2\right)+...+\left(4^9+4^{10}+4^{10}\right)\) ( 4 nhóm )

\(\Rightarrow S=\left(1+4+4^2\right)+...+4^9\left(1+4+4^2\right)\)

\(\Rightarrow S=1.21+...+4^9.21\)

\(\Rightarrow S=\left(1+...+4^9\right).21\)

Mà : \(1+...+4^9\in N\Rightarrow S⋮21\)

b, \(7+7^2+7^3+...+7^{102}\)

Đặt : \(M=7+7^2+7^3+...+7^{102}\)

Ta có : Số số hạng của dãy số M chính là số số hạng của dãy số cách đều từ 1 --> 102 mỗi số cách nhau 1 đơn vị

=> Số số hạng của M là : \(\frac{102-1}{1}+1=102\) ( số hạng )

Vậy có tất cả số nhóm là :

102 : 2 = 51 ( nhóm )

\(M=\left(7+7^2\right)+\left(7^3+7^4\right)+...+\left(7^{101}+7^{102}\right)\)

\(\Rightarrow M=\left(7+7^2\right)+7^2\left(7+7^2\right)+...+7^{100}\left(7+7^2\right)\)

\(\Rightarrow M=1.56+7^2.56+...+7^{100}.56\)

\(\Rightarrow M=\left(1+7^2+...+7^{100}\right).56\)

Vì : 56 = 8.7 . Mà : \(1+7^2+...+7^{100}\in N\Rightarrow M⋮8\)