YOMEDIA

Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2(3+a)}{a}\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 .Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2(3+a)}{a}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • + Ta có: \((a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\). Nên ta sẽ có
    \(\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}=\sqrt{2a^2+7b^2+2ab+14ab}\leq \sqrt{3a^2+8b^2+14ab}\) \(=\sqrt{(a+4b)(3a+2b)}\leq \frac{4a+6b}{2}=2a+3b\)
    + Vậy ta sẽ có: \(\frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\geq \frac{25a^2}{2a+3b} \ (1)\)

    + Tương tự ta cũng có: \(\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}\geq \frac{25b^2}{2b+3c} \ (2)\)

    + Mặt khác theo Cauchy - shwarz Ta có: \(\frac{3c^2}{a}+2c=c^2\left ( \frac{3}{a}+\frac{2}{c} \right )\geq \frac{25c^2}{3a+2c} \ \ (3)\)

    + Từ (1),(2),(3) ta sẽ có:
    \(P\geq 25\left ( \frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a} \right )+c^2-2c\)\(\geq 25.\frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)}+c^2-2c=5(a+b+c)+c^2-2c\)
    + Mà a + b + c = 3 theo giả thiết nên ta sẽ có: \(P\geq c^2-2c+15=(c-1)^2+14\geq 14\)
    Vậy GTNN của P = 14
    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

      bởi Nguyễn Tiểu Ly 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)