YOMEDIA

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}\)

 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Ta có:=VT(3)
    \(P=\frac{y+1-3x}{x^2+x}+\frac{z+1-3y}{y^2+y}+\frac{x+1-3z}{z^2+z}\)
    \(=\frac{y+1}{x(x+1)}+\frac{z+1}{y(y+1)}+\frac{x+1}{z(z+1)}-3\left ( \frac{1}{1+x} +\frac{1}{1+y} +\frac{1}{1+z}\right )\)
    Ta có: BĐT: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}},a,b>0\) & \(ab<1 (1)\)
    Thật vậy: \((1)\Leftrightarrow \frac{(a+b)+2}{1+(a+b)+2}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{ab-1})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0\) luôn đúng do ab < 1
    Dấu bằng xảy ra khi a = b
    Ta sẽ cm \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}} \ (2)\)

    Thật vậy BĐT \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}} \leq \frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}=VP \ (3)\)
    \(VT(3)\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{z\sqrt[3]{xyz}}}\leq \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{xy}\sqrt{x\sqrt[3]{xyz}}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\) =VT(3)
    Dấu bằng xảy ra khi x = y = z 
    Từ đó ta có \(P\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}-\frac{9}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
    Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 0<t\leq \frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}\)
    \(P\geq \frac{3}{t}-\frac{9}{1+t}=f(t)\)
    \(f'(t)=\frac{-3}{t^2}+\frac{9}{(t+1)^2}=\frac{3(2t^2-2t-1)}{(t^2+t)^2}< 0,\forall t\in\bigg (0;\frac{1}{3}\bigg ]\)
    Do đó \(f(t)\geq f(\frac{1}{3})=\frac{9}{4}\)
    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  \(\frac{9}{4}\) đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} x=y=z=\frac{1}{3}\\ t=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

      bởi Nguyễn Anh Hưng 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)