YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\left ( \frac{c}{a+b-c} \right )^2\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho a, b ,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c} \right )\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\left ( \frac{c}{a+b-c} \right )^2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Từ giả thiết ta có \((a+b-c)^2=ab(1)\)
    Khi đó \(P=\frac{\left | a+b-c \right |}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{ab}\)
    \(=\frac{\left | a+b-c \right |}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{\left | a+b-c \right |}{a+b}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}+\frac{2c^2}{(a+b)^2}\)
    \(=\left | 1-\frac{c}{a+b} \right |+\frac{6c^2}{(a+b)^2}\)

    Đặt \(t=\frac{c}{a+b}\), từ (1) ta có \((1-t)^2=\frac{ab}{(a+b)^2}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow t\in \left [ \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right ]\)
    Xét hàm \(f(t)=\left | 1-t \right |+6t^2,t\in \left [ \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right ]\)
    Nếu \(t\in \bigg(1;\frac{3}{2} \bigg]\) thì \(f(t)=t-1+6t^2>6\)
    Nếu \(t\in \left [ \frac{1}{2} ;1\right ]\) thì \(f(t)=1-t+6t^2,f'(t)=-1+12t>0\)
    Suy ra f(t) đồng biến trên \(\left [ \frac{1}{2} ;1\right ]\)  do đó giá trị nhỏ nhất của f(t) bằng \(f(\frac{1}{2})=2\)
    Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi a = b = c

      bởi Vũ Hải Yến 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF