YOMEDIA
NONE

Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\). Tìm giá trị \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(m =  - 1\)                             B. \(m = 0\)

C. \(m =  - 2\)                             D. \(m =  - \frac{2}{3}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Xét phương trình hoành độ giao điểm:.

    \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{x}{{1 - x}} = mx - m - 1\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = \left( {mx - m - 1} \right)\left( {1 - x} \right)\\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - m{x^2} + mx + x\\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

    Để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m\left( {m + 1} \right) > 0\\m - 2m + m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).

    Khi đó hoành độ của hai điểm \(M,\,\,N\) là nghiệm của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 2\\{x_M}.{x_N} = \frac{{m + 1}}{m}\end{array} \right.\).

    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_M} = m{x_M} - m - 1\\{y_N} = m{x_N} - m - 1\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow {y_M} + {y_N}\)\( = \left( {{x_M} + {x_N}} \right) - 2m - 2 =  - 2\)

    Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), ta có \(I\left( {1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow A{I^2} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 8\).

    \(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_N}} \right)^2}\\ = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\ + {\left( {m{x_M} - m - 1 - m{x_N} + m + 1} \right)^2}\\ = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {m^2}{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\ = \left( {1 + {m^2}} \right){\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\ = \left( {1 + {m^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right]\\ = \left( {1 + {m^2}} \right)\left[ {4 - 4\frac{{m + 1}}{m}} \right]\\ =  - 4\frac{{1 + {m^2}}}{m}\end{array}\)

    Do \(M{N^2} > 0\) nên \(m < 0\).

    Đặt \(T = A{M^2} + A{N^2}\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}A{I^2} = \frac{{A{M^2} + A{N^2}}}{2} - \frac{{M{N^2}}}{4}\\ \Rightarrow 4A{I^2} = 2T - M{N^2}\\ \Leftrightarrow T = \frac{{4A{I^2} + M{N^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow T = \frac{{4.8 - 4\frac{{1 + {m^2}}}{m}}}{2}\\ \Leftrightarrow T = 16 - 2\frac{{1 + {m^2}}}{m}\\ \Leftrightarrow T = \frac{{ - 2{m^2} + 16m - 2}}{m}\end{array}\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}T' = \frac{{\left( { - 4m + 16} \right)m - \left( { - 2{m^2} + 16m - 2} \right)}}{{{m^2}}}\\T' = \frac{{ - 4{m^2} + 16m + 2{m^2} - 16m + 2}}{{{m^2}}}\\T' = \frac{{ - 2{m^2} + 2}}{{{m^2}}} = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}\)

    BBT:

    Từ BBT ta thấy \(\min T = 20 \Leftrightarrow m =  - 1\) .

    Chọn A.

      bởi Huong Duong 10/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF