YOMEDIA
NONE

Cho điểm \(M\) nằm trong hình tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh tổng các khoảng cách từ \(M\) tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a?

Cho điểm \(M\) nằm trong hình tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh tổng các khoảng cách từ \(M\) tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a? 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Gọi \({H_1},{H_2},{H_3},{H_4}\) lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng \((BCD) , (ACD) , (ABD) , (ABC)\).
    Khi đó \(M{H_1},M{H_2},M{H_3},M{H_4}\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(M\) tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là \(S\) và gọi \(h\) là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:

    \(\eqalign{
    & {V_{MBCD}} + {V_{MACD}} \cr&+ {V_{MABD}} + {V_{MABC}} = {V_{ABCD}} \cr 
    & \Leftrightarrow {1 \over 3}S.M{H_1} + {1 \over 3}S.M{H_2} \cr &+ {1 \over 3}S.M{H_3} + {1 \over 3}S.M{H_4} = {1 \over 3}S.h \cr 
    &  \Leftrightarrow \frac{1}{3}S\left( {M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4}} \right) \cr &= \frac{1}{3}Sh\cr &\Leftrightarrow M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4} = h \cr} \)

    Vậy tổng các khoảng cách từ điểm \(M\) tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\) nằm trong tứ diện đó.
    Nếu tứ diện đều có cạnh bằng \(a\), ta tính \(h\).
    Gọi \(H\) là trực tâm tam giác đều \(BCD\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).

    Ta có:

    \(\eqalign{
    & {h^2} = A{H^2} = A{M^2} - H{M^2} \cr &= {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \cr 
    &  = {{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}} = {{2{a^3}} \over 3} \cr &\Rightarrow h = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

    Tổng khoảng cách nói trên bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\).

      bởi Nguyễn Anh Hưng 07/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF