ADMICRO

Cho các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn 5(x2 + y2 + z2) = 9(xy + 2yz + zx)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho các số thực x, y, z  > 0 thỏa mãn 5(x2 + y2 + z2) = 9(xy + 2yz + zx). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Theo giả thiết ta có:
    \(5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)\)
    \(\Leftrightarrow 5(x+y+z)^2=9(xy+2yz+zx)+10(xy+yz+zx)\)
    \(\Leftrightarrow 5(x+y+z)^2=19x(y+z)+28yz\leq 19x(y+z)+7(y+z)^2\)
    \(\Leftrightarrow 5\left ( \frac{x}{y+z}+1 \right )^2\leq \frac{19x}{y+z}+7\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}\leq 2\Leftrightarrow x\leq 2(y+z)\)
    Mặt khác ta có \((y+z)^2\leq 2(y^2+z^2)\Leftrightarrow y^2+z^2\geq \frac{1}{2}(y+z)^2\)
    Vì vậy \(P\leq \frac{2(y+z)}{\frac{1}{2}(y+z)^2}-\frac{1}{(2(y+z)y+z)^2}=\frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^3}\)
    Đặt \(t=y+z>0\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{27t^3}=-\frac{(6t-1)^2(2t+1)}{27t^3}+16\leq 16\)
    Vậy maxP = 16. Dấu bằng đạt tại \(\left\{\begin{matrix} x=2(y+z)\\ y=z\\ y+z=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{3}\\ y=z=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

      bởi bach hao 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)