Cho \(\left( {{C_1}} \right):{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0\). Viết phương trình ảnh của các đường tròn trên.

1. Viết phương trình ảnh của\(\left( {{C_1}} \right)\). Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2.

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( {{C_1}} \right):{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0.\)

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Ta có \(\overrightarrow {OM'}  = 2\overrightarrow {OM} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x'}} = 2x\\{\rm{y'}} = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x = }}\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}}\\y = \frac{{y'}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}};\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{2}}}} \right).\)

Do \(M\left( {\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}};\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{2}}}} \right) \in \left( C \right):{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0\).

Nên:\({\left( {\frac{{x'}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y'}}{2}} \right)^2} + 4.\frac{{x'}}{2} - 2\frac{{y'}}{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} + 8x' - 4y' - 16 = 0\).

Vậy: \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 8x - 4y - 16 = 0\) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

2) Viết phương trình ảnh của\(\left( {{C_1}} \right)\). Qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2.

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm I(-2;1) và bán kính R=3.

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2.

Ta có \(\overrightarrow {AI'}  =  - 2\overrightarrow {AI} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x - 1}} =  - 2\left( { - 2 - 1} \right)\\{\rm{y - 1}} =  - 2\left( {1 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x = 7}}\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\rm I}{\rm{'}}\left( {7;1} \right).\)

Gọi (C’) là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2. Khi đó (C’) có bán kính R’=\(\left| { - 2} \right|\)R=6.

Do đó (C’) có phương trình là\(:{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 36.\)