Cho biết rằng hàm số\(f\left( x \right) = \cos 2x.\) Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = \frac{\pi }{6}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x\\f''\left( x \right) =  - {2^2}\cos 2x\\f'''\left( x \right) = {2^3}\sin 2x\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {2^4}\cos 2x\\{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) =  - {2^5}\sin 2x\\{f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) =  - {2^6}\cos 2x\\{f^{\left( 7 \right)}}\left( x \right) = {2^7}\sin 2x\\{f^{\left( 8 \right)}}\left( x \right) = {2^8}\cos 2x\\....\end{array}\)

Nên:

\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k} \right)}} = {2^{4k}}c{\rm{os}}2x\\{f^{\left( {4k + 1} \right)}} =  - {2^{4k + 1}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}} =  - {2^{4k + 2}}c{\rm{os}}2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}} = {2^{4k + 3}}\sin 2x\end{array}\).               

 Do đó (C) là đồ thị hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( {4.12 + 2} \right)}} =  - {2^{50}}{\rm{cos}}2x.\)

Ta có: \(y' = {f^{\left( {51} \right)}}\left( x \right) = {2^{51}}\sin 2x.\)

Tiếp tuyến tại điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) có phương trình:

\(\begin{array}{l}y = y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + y\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow y = {2^{51}}\sin \frac{\pi }{3}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}c{\rm{os}}\frac{\pi }{3}\\y = {2^{51}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}.\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow y = {2^{50}}\sqrt 3 \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{49}}\\ \Leftrightarrow y = {2^{50}}.\sqrt 3 x - \frac{{{2^{50}}\sqrt 3 \pi }}{6} - {2^{49}}\end{array}\)