Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hoành độ của điểm A nhỏ hơn 4 và AG có phương trình \(3x-y-13=0\)

Xác định hình chiếu của D trên AG.

Ta có tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên tam giác ABM vuông cân đỉnh M
Suy ra GB=GA Theo giả thiết GA=GD nên tam giác ABD nội tiếp đường tâm G bán kính GA.

Ta có:\(\widehat{AGD}=2\widehat{ABD}=90^0\) Suy ra \(DG\perp AG\) suy ra\(GD=\sqrt{10}\)

Suy ra tam giác AGD vuông cân đỉnh G suy ra \(AD=2\sqrt{10}\)

Tìm điểm A nằm trên đường thẳng AG sao cho \(AD=2\sqrt{10}\)

Giả sử A(t;3t-13)

\(AD=2\sqrt{10}\Leftrightarrow (t-7)^2+(3t-11)^2=20\)

\(\Leftrightarrow t^2-14t+49+9t^2-66t+121-20=0\)

\(\Leftrightarrow 10t^2-80t+150=0\Leftrightarrow t^2-8t+15=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=5 \\ t=3 \end{matrix}\)

với t=3 suy ra A(3;-4)

Tìm số đo góc tạo bởi AB và AG.

\(cos\widehat{NAG}=\frac{NA}{AG}=\frac{NM}{AG}=\frac{3NG}{\sqrt{AN^2+NG^2}}=\frac{3NG^2}{\sqrt{9NG^2+NG^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Giả sử đường thẳng AB có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(a;b)\) ta có:

\(\frac{\begin{vmatrix} 3a-b \end{vmatrix}}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Leftrightarrow 9a^2+b^2-6ab=9a^2+9b^2\Leftrightarrow 8b^2+6ab=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} b=0 \\ 4b=-3a \end{matrix}\)

TH1: b=0 chọn a=1 suy ra \(\overrightarrow{n}=(1;0)\) suy ra AB: \(x-3=0\)

\(d(D,AB)=\frac{\begin{vmatrix} 7-3 \end{vmatrix}}{\sqrt{1}}=4>\sqrt{10}=d(D,AG)\)

TH2: \(4b=-3a\) chọn \(\overrightarrow{n}=(4;-3)\) suy ra AB: \(4(x-3)-3(y+4)=0 \Leftrightarrow 4x-3y-24=0\)

\(d(D,AB)=\frac{\begin{vmatrix} 4.7+3.2-24 \end{vmatrix}}{\sqrt{16+9}}=\frac{10}{5}=2<\sqrt{10}\)

Trong hai trường hợp trên xét thấy \(d(D,AB)>d(A,AG)\) nên AB: \(x-3=0\)

Vậy A(3;-4), AB: \(x-3=0\)