Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3\left( {x + y} \right)}}{{x - y}} = a}\\{\dfrac{{2x - y - a}}{{y - x}} = 1}\end{array}} \right.\)

Điều kiện : x ≠ y. Biến đổi hệ phương trình về dạng :

\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3 - a} \right)x + \left( {3 + a} \right)y = 0}\\{3{\rm{x}} - 2y = a}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(D =  - a - 15;\) \({D_x} =  - a\left( {3 + a} \right);\) \({D_y} = a\left( {3 - a} \right)\)

• Với a ≠ -15 thì D ≠ 0, hệ (I) có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}}}\\{y = \dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}}}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy rằng \(\dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}} = \dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}} \Leftrightarrow {\rm{a}} = 0\)

Nên khi a ≠ 0 thì x ≠ y, khi đó nghiệm của (I) cũng là nghiệm của hệ đã cho.

• Với a = -15 thì \(D = 0;{D_x} \ne 0;{D_y} \ne 0,\) hệ (I) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.

Kết luận. Với a ≠ 0 và a ≠ -15, hệ có nghiệm duy nhất :

\(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}};\dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}}} \right)\)

Với a = 0 hoặc a = -15, hệ vô nghiệm.