Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x+1}{y+3}}+\sqrt{\frac{y+2}{x+4}}=3

Đ/K \(x\neq -4;y\neq -3;\frac{x+1}{y+3}\geq 0;\frac{y+2}{y+3}\geq 0\)
Từ phương trình \((2)\Leftrightarrow xy+2x+y+2=4(xy+3x+4y+12)\Leftrightarrow (x+1)(y+2)=4(x+4)(y+3)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x+1}{y+3}.\frac{y+2}{x+4}=4\)
Ta được: \(\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x+1}{y+3}}+\sqrt{\frac{y+2}{x+4}}=3\ (1)\\ \\ \frac{x+1}{y+3}.\frac{y+2}{x+4}=4 \ (2) \end{matrix}\right.\)
Đặt \(u=\sqrt{\frac{x+1}{y+3}}\Rightarrow u^2=\frac{x+1}{y+3};(u\geq 0);v=\sqrt{\frac{y+2}{x+4}}\Rightarrow v^2=\frac{y+2}{x+4};(v\geq 0)\)
Hệ pt đã cho trở thành: \(\left\{\begin{matrix} u+v=3\\ uv=3 \end{matrix}\right.\)
Giải, ta được u = 2; v = 1 hoặc u = 1; v = 2
+ \(\left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+1}{y+3}=4\\ \\ \frac{y+2}{y+4}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-4y=11\\ x-y=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{19}{3}\\ \\ y=-\frac{22}{3} \end{matrix}\right.\)
+ \(\left\{\begin{matrix} u=1\\ v=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+1}{y+3}=1\\ \\ \frac{y+2}{y+4}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=2\\ 4x-y=-14 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{16}{3}\\ \\ y=-\frac{22}{3} \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \((x;y)=\left ( -\frac{19}{3};-\frac{13}{3}\right )\) và \((x;y)=\left ( -\frac{16}{3};-\frac{22}{3}\right )\)