Đường tròn tâm J nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P

P thuộc đường thẳng NP nên P(a ;1)
\(BP=BM=\sqrt{\left ( 3-\frac{1}{2} \right )^2}=\frac{5}{2}\)
\(BP=\sqrt{\left ( a-\frac{1}{2} \right )^2+(1-3)^2}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow \left ( a-\frac{1}{2} \right )^2=\frac{9}{4}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=2\\ a=-1 \end{matrix}\)

Với \(a=2\Rightarrow P(2;1)\)
Ptđt AB đi qua P(2;1) và nhận \(\overrightarrow{BP}=\left ( \frac{3}{2};-2 \right )\) làm vtcp. Suy ra pt AB: 4x + 3y - 11 = 0

Ptđt PJ đi qua P(2;1) và nhận \(\overrightarrow{BP}=\left ( \frac{3}{2};-2 \right )\) làm vtpt. Suy ra pt PJ: 3x - 4y - 2 = 0
Ptđt MJ đi qua M(3; 3) và nhận  \(\overrightarrow{BM}=\left ( \frac{5}{2};0 \right )\) làm vtpt. Suy ra pt MJ: x - 3 =0 
\(PJ\cap MJ=\left \{ J \right \}\Rightarrow J(x;y)\) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 3x-4y-3=0\\ x-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=\frac{7}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow J\left ( 3;\frac{7}{4} \right )\)

Ptđt AJ đi qua \(J\left ( 3;\frac{7}{4} \right )\) và vuông góc với PN: y-1=0. Suy ra pt AJ: x - 3 = 0
\(AJ\cap AB=\left \{ A \right \}\Rightarrow A(x;y)\) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-3=0\\ 4x+3y-11=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\)

Với \(a=-1\Rightarrow P(-1;1)\)

Ptđt AB đi qua P(-1;1) và nhận \(\overrightarrow{BP}=\left (- \frac{3}{2};-2 \right )\) làm vtcp. Suy ra pt AB: 4x - 3y + 7 = 0
Ptđt PJ đi qua P(-1;1) và nhận \(\overrightarrow{BP}=\left (- \frac{3}{2};-2 \right )\) làm vtpt. Suy ra pt PJ:  3x + 4 y -1 = 0
Ptđt MJ đi qua M(3; 3) và nhận \(\overrightarrow{BM}=\left (\frac{5}{2};0 \right )\) làm vtpt. Suy ra pt MJ: x - 3 = 0
\(PJ\cap MJ=\left \{ J \right \}\Rightarrow J(x;y)\) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 3x-4y-1=0\\ x-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow J(3;-2)\)
Ptđt AJ đi qua J (3;-2) và vuông góc với PN: y-1=0. Suy ra pt AJ: x - 3 = 0
\(AJ\cap AB=\left \{ A \right \}\Rightarrow A(x;y)\) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-3=0\\ 4x-3y+7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=\frac{19}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow A(3;\frac{19}{3})\)
Vì điểm A có tung độ âm. Vậy  \(A(3;\frac{19}{3})\)