YOMEDIA
NONE

Chứng minh x/(1+yz)+y/(1+zx)+z/(1+xy)>=3 căn 3/4

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+\dfrac{z}{1+xy}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Biển Sao

    Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)

    \(VT=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}\)

    \(=\dfrac{x^2}{x+xyz}+\dfrac{y^2}{y+xyz}+\dfrac{z^2}{z+xyz}\)

    \(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}}\)

    \(=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\). Cần chứng minh:

    \(\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)

    BĐT cuối đúng vì \(x+y+z\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}=\sqrt{3}\)

    \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

    Ps: nospoiler

      bởi Biển Sao 02/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF