Cho \(n\) điểm \({A_1}({x_1} ; {y_1}), {A_2}({x_2} ; {y_2}), ..., {A_n}({x_n} ; {y_n})\) và \(n+1\) số : \(k_1, k_2,…,k_n,\) \(k\) thỏa mãn \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} \ne 0\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho: \({k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k\).

Đặt \(M=(x, y)\), ta có \({k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow   [{k_1}{(x - {x_1})^2} + {k_2}{(x - {x_2})^2}\\ + ... + {k_n}{(x - {x_n})^2}] + [{k_1}{(y - {y_1})^2} \\+ {k_2}{(y - {y_2})^2} + ... + {k_n}{(y - {y_n})^2}]\\ \Leftrightarrow   ({k_1} + {k_2} + ... + {k_n})({x^2} + {y^2}) \\- 2({k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n})x\\ - 2({k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n})y\\ + {k_1}(x_1^2 + y_1^2) + {k_2}(x_2^2 + y_2^2) \\+ ... + {k_n}(x_n^2 + y_n^2) = k.\end{array}\)

Đặt

\(\begin{array}{l}a =  \dfrac{{{k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}  ;\\   b =  \dfrac{{{k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}  ;\\c =  \dfrac{{{k_1}(x_1^2 + y_1^2) + {k_2}(x_2^2 + y_2^2) + ... + {k_n}(x_n^2 + y_n^2) - k}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}.\end{array}\)

Khi đó

\((1)    \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0   \)

\(\Leftrightarrow    {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.\)

-  Nếu \({a^2} + {b^2} - c > 0\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I(a, b)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

- Nếu \({a^2} + {b^2} - c = 0\) thì tập hợp các điểm \(M\) là điểm \(I(a, b).\)

- Nếu \({a^2} + {b^2} - c < 0\) thì tập các điểm \(M\) là tập rỗng.