Cho hai phương trình \({x^2} - 5x + k = 0\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} - 7x + 2k = 0\,\left( 2 \right)\). Với giá trị nào của k thì phương trình (2) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 25\,?\)

Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là \({\Delta _2} = 49 - 8k \ge 0.\) Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là x3 và x4. Theo điều kiện của đề bài ta có :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} + {x_4} = 7}\\{{x_3}{x_4} = 2k}\\{x_3^2 + {\rm{x}}_4^2 = 25}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra \(k = 6\). Khi đó, (2) có nghiệm là \(x_3=3\) và \(x_4=4\).

c. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là \({\Delta _1} \ge 0\) và \({\Delta _2} \ge 0,\) tức là \(k \le \dfrac{{49}}{8}.\) Với cùng kí hiệu như trên, theo đề bài ta có hệ :

\(\left\{ {\matrix{{{x_1} + {x_2} = 5} \cr {{x_1}{x_2} = k} \cr {{x_3} + {x_4} = 7} \cr {{x_3}{x_4} = 2k} \cr {2{x_1} = {x_3}} \cr} } \right.\)

Từ đó ta có hai kết quả sau :

• k = 0. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=5\), phương trình (2) có hai nghiệm \(x_3=4\) và \(x_4=7\) (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \(x_3=2x_1\)).

• k = 6. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1=2\) và \(x_2=3\), phương trình (2) có hai nghiệm \(x_3=4\) và \(x_4=3\) (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \(x_3=2x_1\)).