RANDOM

Chứng minh \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}.\)

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh

\(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}.\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • x, y, z dương và xyz = 1 nên luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc hai số cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là x, y.

    \((x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow x+y\leq xy+1\)

    \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{2}{(1+x)(1+y)}=\frac{2}{1+x+y+xy}\geq \frac{2}{2+2xy}=\frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}\)

    \(\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\)

    Ta có

    \(\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}-\frac{3}{4}=\frac{(z-1)^{2}}{(z+1)^{2}}\geq 0\Rightarrow \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}\)

    \(\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}\)

    Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

      bởi Nguyễn Trà Giang 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)