YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\leq \frac{3}{2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Biến đổi biểu thức P, ta có: 
    \(P=\frac{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2}{y+\frac{1}{z}}+\frac{\left ( y+\frac{1}{z} \right )^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left ( z+\frac{1}{x} \right )^2}{x+\frac{1}{y}}\)
    Chứng minh bất đẳng thức:
     \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c \ (a,b,c>0)\)   (1)
    Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 
    \(\frac{a^2}{b}+b\geq 2a,\frac{b^2}{c}+c\geq 2b,\frac{c^2}{a}+a\geq 2c\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\)
     Sử dụng (1) ta suy ra: 
    \(P\geq \left ( x+\frac{1}{y} \right )+\left ( y+\frac{1}{z} \right )+\left ( z+\frac{1}{x} \right )=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=Q\)
    Tiếp tục đánh giá Q, ta có: \(Q \geq 3\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
    Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\), ta có \(0<t=\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}\leq \frac{1}{2}\)
    Khi đó: \(Q\geq 3t+\frac{3}{t}=12t+\frac{3}{t}-9t=\frac{15}{2}\)
    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
    Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{15}{2}\) khi đạt \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

      bởi Hoa Lan 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF