Câu hỏi trắc nghiệm (9 câu):
-
Câu 1:
Cho hàm số \(y=2x^{3}-3x^{2}+1\) (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.
-
1. (HS tự làm)
2.
Tiếp tuyến có hệ số góc Min bằng khi
PTTT:
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc.
= = = = = = = =
Lời giải:1. (HS tự làm)
2.
\(y'=6x^{2}-6x=6(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\geq -\frac{3}{2}\)
Tiếp tuyến có hệ số góc Min bằng \(-\frac{3}{2}\) khi x= \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)
PTTT: \(y=-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}\)
-
-
Câu 2:
Giải phương trình sau: \(\cos 2x+\cos x(2\tan ^{2}x-1)=2\)
-
ĐK:
(1)
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:ĐK: \(\cos x\neq 0\)
(1) \(\Leftrightarrow \cos 2x+\frac{2\sin ^{2}x}{\cos x}-\cos x=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2\sin ^{2}x}{\cos x}-\cos x=1+2\sin ^{2}x\)
\(\Leftrightarrow 2\sin ^{2}x(\frac{1}{\cos x}-1)=1+\cos x\)
\(\Leftrightarrow 2(1-\cos ^{2}x)(1-\cos x)=(1+\cos x)\cos x\)
\(\Leftrightarrow (1+\cos x) \lbrack2(1-\cos x)^{2} -\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos x=-1\\ 2\cos ^{2}x-5\cos x+2=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos x=-1\\\cos x=\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\pi +k\pi \\x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{matrix}\)
-
-
Câu 3:
Giải bất phương trình sau: \(2\log _{2}(2x-1)+\log _{\frac{1}{2}}(3x+1)\leq 3\)
-
Đk:
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Đk: \(x> \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\log _{2}(2x-1)+\log _{\frac{1}{2}}(3x+1)\leq 3\)
\(\Leftrightarrow \log _{2}(2x-1)^{2}-\log _{2}(3x+1)\leq 3\)
\(\Leftrightarrow \log _{2}\frac{(2x-1)^{2}}{3x+1}\leq 3\Leftrightarrow 0< \frac{(2x-1)^{2}}{3x+1}\leq 8\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x> \frac{1}{2}\\\frac{4x^{2}-28x-7}{3x+1}\leq 0 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow x\in (\frac{1}{2};\frac{7+2\sqrt{14}}{2})\)
-
-
Câu 4:
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{6}\) trong khai triển nhị thức \((\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-3x^{2})^{10}\)
-
Ta có:
Số hạng chứa khi
Hệ số cần tìm bằng
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có: \((\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-3x^{2})^{10}=\sum_{0}^{10}C^{k}_{10}(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{10-k}(-3x^{2})^{k}\)
\(T_{k+1}=C^{k}_{10}(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{10-k}(-3x^{2})^{k}=C^{k}_{10}(-3)^{k}(x)^{-\frac{1}{3}(10-k)+2k}\)
Số hạng chứa \(x^{6}\) khi \(-\frac{1}{3}(10-k)+2k=6\Leftrightarrow k=4\)
Hệ số cần tìm bằng \(C^{4}_{10}3^{4}\)
-
-
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a. Góc DAB = \(120^{\circ}\). Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBD) và mặt đáy bằng \(60^{\circ}\). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC).
-
Kẻ
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:\(\begin{Bmatrix}\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! (SAC)\perp (ABCD) \\(SBD)\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp BC \\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! (SAC)\perp (SBD) \end{matrix}\)
Kẻ \(OH\perp BC\Rightarrow BC\perp (SOK)\Rightarrow ((SBC),(ABCD))=\angle SKO=60^{\circ}\)
\(S_{ABCD}=2S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{2}\)
\(OK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SO=\frac{3a}{4}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{8}\) (ĐVDT)
\(AO\cap (SBC)=C\Rightarrow d(A,(SBC))=2d(O,(SBC))\)
\(\left.\begin{matrix}(SBC)\perp (SOK) \\(SBC)\cap (SOK)=SK \\OH\perp SK \end{matrix}\right\}\Rightarrow OH\perp (SBC)\Rightarrow d(O,(SBC))=OH\)
\(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{OS^{2}}\Rightarrow OH=\frac{3a}{8}\Rightarrow d(A,(SBC))=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow d(A,(SBC))=\frac{3a}{4}\)
-
-
Câu 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (d) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-1}, (P)2x+y+z+2=0\). Tìm A là giao điểm của (d) và (P), viết phương trình đường thẳng (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
-
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:\(A=(d)\cap (P)\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=1+t\\\! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y=-2+2t \\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=1-t \\2x+y+z+2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(0;-4;2)\)
\(M(1;-2;1)\in (d)\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)
\((MH)\left\{\begin{matrix} quaM(1;-2;1)\\vtcp(2;1;1) \end{matrix}\right.\Rightarrow (MH)\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\y=-2+t \\z=1+t \end{matrix}\right.\)
\(H=MH\cap (P)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=1+2t\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y=-2+t \\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!z=1+t \\2x+y+z+2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow H(0;-\frac{5}{2};\frac{1}{2})\)
\((d')\left\{\begin{matrix} quaA(0;-4;2)\\vtcp\overrightarrow{AH}(0;\frac{3}{2};\frac{-3}{2}) \end{matrix}\right.\Rightarrow (d')\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=0\\y=-4+t \\\! \! \! \! z=2-t \end{matrix}\right.\)
-
-
Câu 7:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy, cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng
chứa trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 3x + 5y – 8 =
0; x –y - 4 = 0. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC tại điểm thứ hai là D(4;-2). Viết phương trình các đường thẳng AB, AC biết
rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.-
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao của AD và BC, E là giao của BH và AC
M là giao của AM và BC nên
AD vuông góc BC và đi qua D nên có phương trình x + y - 2 = 0
A là nghiệm của hệ
K là nghiệm của hệ
Tứ giác HKCE nội tiếp nên mà
Suy ra nên K là trung điểm của HD nên H(2;4)
Vì B thuộc BC suy ra B(t;t-4) suy ra C(7-t;3-t)
Mặt khác HB vuông góc với AC nên
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao của AD và BC, E là giao của BH và AC
M là giao của AM và BC nên \(M(\frac{7}{2};-\frac{1}{2})\)
AD vuông góc BC và đi qua D nên có phương trình x + y - 2 = 0
A là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 3x+5y-8=0\\x+y-2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(1;1)\)
K là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y-4=0\\x+y-2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow K(3;-1)\)
Tứ giác HKCE nội tiếp nên \(\angle BHK =\angle KCE,\) mà \(\angle BDA =\angle KCE\)
Suy ra \(\angle BHK =\angle BDA\) nên K là trung điểm của HD nên H(2;4)
Vì B thuộc BC suy ra B(t;t-4) suy ra C(7-t;3-t)
Mặt khác HB vuông góc với AC nên \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=7(l)\\t=2 \end{matrix}\)
\(\Rightarrow B(2;-2),C(5;1)\)
\(\Rightarrow AB: 3x+y-4=0;\; AC:y-1=0\)
-
-
Câu 8:
Giải hệ phương trình sau:
\(\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+12y^{2}+25y+18=92x+9\sqrt{x+4}\\ \sqrt{3x+1}+3x^{2}-14x-8=\sqrt{6-4y-y^{2}} \end{matrix}\right.\)
-
Xét phương trình
Vậy hệ có nghiệm x = 5; y = 1
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Đk: \(\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\geq -\frac{1}{3}\\6-4y-y^{2}\geq 0 \end{matrix}\right.\)
Xét phương trình \(2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\; \; \; (1)\)
\(2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\)
\(\Leftrightarrow 2(y+2)^{3}+(y+2)=2(x+4)\sqrt{x+4}+\sqrt{x+4}\)
\(f(t)=2t^{3}+t\Leftrightarrow f'(t)=6t^{2}+1> 0\)
\((1)\Leftrightarrow f(y+2)=f(\sqrt{x+4})\Leftrightarrow y+2=\sqrt{x+4}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq -2\\x=4y+y^{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\\\sqrt{3x+1}+3x^{2}-14x-8=\sqrt{6-4y-y^{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\(\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^{2}-14x-5=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\\frac{3(x-5)}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{x-5}{(\sqrt{6-x-1})}+(3x+1)=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4y+y^{2}\\(x-5)\left [ \frac{3}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{1}{(\sqrt{6-x}-1)}+(3x+1) \right ]=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\y=1 \end{matrix}\right.\)
\(\frac{3}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{1}{(\sqrt{6-x}-1)}+(3x+1)> 0,\forall x\geq -\frac{1}{3}\)
Vậy hệ có nghiệm x = 5; y = 1
-
-
Câu 9:
Cho \(\frac{1}{4}\leq x\leq 1;y,z\geq 1\) sao cho xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)
-
Ta có:
Đặt
Suy ra Min
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có: \(\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{yz}}\Rightarrow P\geq \frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}=\frac{1}{1+\frac{1}{yz}}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}\)
Đặt \(t=\sqrt{yz}\Rightarrow 1\leq t=\frac{1}{\sqrt{x}}\leq 2\Rightarrow P=f(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}+\frac{2}{1+t}\)
\(f'(t)=\frac{2t}{(t^{2}+1)^{2}}-\frac{2}{(1+t)^{2}}\leq 0\)
\(f'(t)\leq f(2)=\frac{22}{15}\)
Suy ra Min \(P=\frac{22}{15}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4};y=z=2\)
-