Tính giá trị của biểu thức P = xy + yz + zx biết {3^x} = {4^y} = {12^{ - x}

Đặt \(t = {3^x} = {4^y} = {12^{ - z}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\log _3}t\\y = {\log _4}t\\z =  - {\log _{12}}t\end{array} \right.\)

Suy ra: \(P = {\log _3}t.{\log _4}t - {\log _3}t.{\log _{12}}t - {\log _{12}}t.{\log _4}t = \log _3^2t\left( {{{\log }_4}3 - {{\log }_{12}}3 - {{\log }_4}3.{{\log }_{12}}3} \right)\,\)

\( \Leftrightarrow \,P = {\log _3}^2t\left( {{{\log }_4}3 - \frac{1}{{1 + {{\log }_3}4}} - \frac{{{{\log }_4}3}}{{1 + {{\log }_3}4}}} \right) = {\log _3}^2t.\frac{{{{\log }_4}3 + 1 - 1 - {{\log }_4}3}}{{1 + {{\log }_3}4}} = {\log _3}^2t.0 = 0\)