Tìm m để bất phương trình 1+{log_5}(x^2+1)>={log_5}(mx^2+4x+m) thỏa mãn với mọi x thuộc R

Phương nghiệm đúng với $\forall x \in\mathbb{R}$ nên

$m{x^2} + 4x + m > 0\;(\forall x \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\Delta ' = 4 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow m \in (2; + \infty )$

Khi đó $\log 5 + \log ({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})$

$\Leftrightarrow \log 5({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})$

$\Leftrightarrow 5({x^2} + 1) \ge m{x^2} + 4x + m\;(\forall x \in ) \Leftrightarrow (5 - m){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0\;(\forall x \in \mathbb{R})$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - m > 0}\\ {\Delta = 4 - {{(5 - m)}^2} \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3$

Vậy $2 < m \le 3$ thỏa yêu cầu của đề bài.