-
Câu hỏi:
Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2} - {{\ln }^2}x}}dx,}\) đặt \(t = \frac{{\ln x}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
- A. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt}\)
- B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{e - 1}}{{e + 1}}} \right)\)
- C. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt}\)
- D. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{(t - 1)(t + 1)}}dt}.\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Đặt: \(t = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow dt = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 \Rightarrow t = 0}\\
{x = e \Rightarrow t = \frac{1}{e}}
\end{array}} \right.\)Vậy:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2} - {{\ln }^2}x}}dx} = \int\limits_1^e {\frac{1}{{1 - \frac{{{{\ln }^2}x}}{{{x^2}}}}}.\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2}}}dx} }\\
\begin{array}{l}
= \int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} \\
= \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{e - 1}}{{e + 1}}} \right).
\end{array}
\end{array}\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho intlimits_0^2 {f(x)dx = 3.} Tính I = intlimits_0^2 {left[ {4f(x) - 3} ight]dx.}
- Tính intlimits_a^b {fleft( x ight)dx} biết intlimits_a^d {fleft( x ight)dx} = 5;,intlimits_b^d {fleft( x ight)
- Tìm tập hợp giá trị của m sao cho intlimits_0^m {left( {2x - 4} ight)dx} = 5
- Cho I = intlimits_1^e {frac{{ln x - 1}}{{{x^2} - {{ln }^2}x}}dx,} đặt (t = frac{{ln x}}{x}
- Kết quả tích phân int_0^2 {left( {2x + ln left( {x + 1} ight)} ight)} dx = 3ln a + b. Tính tổng a+b
- Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) có giá trị bằng?
- Tính \(\int\limits_0^a {x{{\left( {3 - x} \right)}^3}dx} \)
- Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{2e} {\frac{{\ln x + 1}}{x}dx} \)
- Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos \left( {a - x} \right)dx} \)
- Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^n}x.\cos xdx} = \frac{1}{{64}}\). Tìm n?