Cho hàm số (y=f(x)) liên tục trên R có đồ thị (y=f(x)) như hình vẽ.

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\) 

Vẽ đường thẳng y = x - 1 ta thấy,

Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) cắt đường thẳng y = x - 1 tại ba điểm có hoành độ lần lượt là - 3; 1; 3 nên hàm số chỉ có thể đạt GTNN tại một trong ba điểm này.

Ta có:

+) \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \) 

Do trong khoảng (- 3;1) thì đồ thị \(y=f'(x)\) nằm phía trên đường thẳng y = x - 1 nên

\(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx}  > 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) < g\left( 1 \right)\)

+) \(g\left( 3 \right) - g\left( 1 \right) = \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx = 2\int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \)

Do trong khoảng (1;3) thì đồ thị \(y=f'(x)\) nằm phía dưới đường thẳng y = x - 1 nên

\(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx}  < 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right)\)

Từ đó suy ra g(1) là GTLN của hàm số.

Lại có \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = {S_1} > {S_2} = g\left( 1 \right) - g\left( 3 \right)\) nên \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right)\) 

Vậy \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\) nên GTNN của hàm số là g(-3)