AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

    1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

    2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH.

    3) Chứng minh: \(\frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} - \frac{{EF}}{{MF}} = 1\).

    Lời giải tham khảo:

    1) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) tại A và B nên:

        \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}\)

    Tứ giác MAOB có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {180^0}\)

    Mà hai góc ở vị trí đối nhau.

    \( \Rightarrow \) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

    2) Ta có: \({\widehat M_1} = {\widehat E_1}\) (so le trong, AE // MO) và \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\left( { = \frac{1}{2}sdAF} \right)\)

    \( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat A_1}\)

    \(\Delta NMF\) và \(\Delta NAM\) có: \(\widehat {MNA}\) chung; \({\widehat M_1} = {\widehat A_1}\)

    \( \Rightarrow  \Delta NMF\) đồng dạng\(\Delta NAM\) (g.g)

    \( \Rightarrow \frac{{NM}}{{NA}} = \frac{{NF}}{{NM}} \Rightarrow N{M^2} = NF.NA\)

    Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

    \( \Rightarrow \) MO là đường trung trực của AB

    \( \Rightarrow AH \bot MO\) và HA = HB

    \(\Delta MAF\) và \(\Delta MEA\) có: \(\widehat {AME}{\rm{ }}\) chung; \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\)

    \( \Rightarrow \Delta MAF\) đồng dạng \(\Delta MEA\) (g.g)

    \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MF.ME\)

    Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA2 = MH.MO

    Do đó: ME.MF = MH.MO \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MF}}\)

    \( \Rightarrow \Delta MFH\) đồng dạng \(\Delta MOE\) (c.g.c)

    \( \Rightarrow {\widehat H_1} = {\widehat E_2}\)

    Vì \(\widehat {BAE}\) là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

    \(\begin{array}{l}
     \Rightarrow {\widehat E_2} = {\widehat A_2}{\rm{ }}\left( {{\rm{ = }}\frac{1}{2}{{sd EB}}} \right)\\
     \Rightarrow {\widehat H_1} = {\widehat A_2}\\
     \Rightarrow {\widehat N_1} + {\widehat H_1} = {\widehat N_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\\
     \Rightarrow HF \bot NA
    \end{array}\)

    Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: NH2 = NF.NA

    \( \Rightarrow N{M^2} = N{H^2} \Rightarrow NM = NH\)

    3) Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: HA2 = FA.NA và HF= FA.FN

    Mà HA = HB

    \( \Rightarrow \frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} = \frac{{H{A^2}}}{{H{F^2}}} = \frac{{FA.NA}}{{FA.FN}} = \frac{{NA}}{{NF}}\)

    Vì AE // MN nên \(\frac{{EF}}{{MF}} = \frac{{FA}}{{NF}}\) (hệ quả của định lí Ta-lét)

    \( \Rightarrow \frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} - \frac{{EF}}{{MF}} = \frac{{NA}}{{NF}} - \frac{{FA}}{{NF}} = \frac{{NF}}{{NF}} = 1\)

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>