Đại số 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

5 trắc nghiệm 7 bài tập SGK

Như các bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc hai, bài học hôm nay, chúng ta sẽ làm quen với các dạng toán, biến đổi để phương trình đã cho thành phương trình bậc hai, và dùng kiến thức đã học giải quyết bài toán.

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình trùng phương

Định nghĩa

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)

Đây không phải là phương trình bậc hai, nhưng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cụ thể là: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) lúc đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\), chúng ta tiến hành giải phương trình bậc hai rồi so điều kiện, trả về ẩn x của bài toán ban đầu.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được 

Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm

3. Phương trình tích

Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:

Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....

 

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-8x^2+7=0\)

Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-8t+7=0\)

Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được: 

\(t=1\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm 1\)

\(t=7\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}\)

Bài 2: Giải phương trình sau: \(\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}\)

Hướng dẫn: Điều kiện: \(x\neq \pm 3\)

Với điều kiện trên, phương trình trở thành: \(x^2-3x+6=x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

\(x=1\)(nhận)

\(x=3\)(loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\)

Bài 3: Giải phương trình tích sau: \((x-3)(x^4+3x^2+2)=0\)

Hướng dẫn: Với bài toán trên, ta suy ra:

\(x-3=0(1)\) hoặc \(x^4+3x^2+2=0(2)\)

Giải (1) \(\Rightarrow x=3\)

Giải (2), ta thấy rằng đây là một phương trình trùng phương, tiến hành đặt \(t=x^2(t\geq 0)\)

pt (2) trở thành \(t^2+3t+2=0\)

\(t=-1\) (loại)

\(t=-2\) (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=3\)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Giải phương trình: \((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)

Hướng dẫn: Ta sử dụng hằng đẳng thức \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)

\((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)

\(\Leftrightarrow (x^2+2x-5+x^2-x+5)(x^2+2x-5-x^2+x-5)=0\)

\(\Leftrightarrow (2x^2+x)(3x-10)=0\)

Giải các phương trình cơ bản, ta dễ dàng suy ra

\(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\frac{10}{3}\)

Bài 2: Giải phương trình \(2x+\sqrt{x}=8-11\sqrt{x}\)

Hướng dẫn: Điều kiện:\(x\geq 0\)

Khi đó, ta đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\)

Phương trình trở thành: \(2t^2+t=8-11t\Leftrightarrow 2t^2+12t-8=0\Leftrightarrow t^2+6t-4=0\)

Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được:

\(t=-3+\sqrt{13}\) (nhận)\(\Rightarrow x=(-3+\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}\)

\(t=-3-\sqrt{13}\) (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=22-6\sqrt{13}\)

Lời kết

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số 9 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Đại số 9 Bài 7 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Đại số 9 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9

-- Mod Toán Học 9 HỌC247