Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng - Đại số 9

5 trắc nghiệm 9 bài tập SGK 1 hỏi đáp

Bài học trước, chúng ta đã biết về công thức nghiệm thu gọn. Trong bài học này, chúng ta sẽ được tìm hiểu về mối quan hệ tổng tích giữa các nghiệm thông qua hệ thức Vi-ét.

Tóm tắt lý thuyết

1. Hệ thức Vi-ét

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Định lý Vi-ét

Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Tổng quát

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)

Đặt \(\Delta =S^2-4P\)

 

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2-8x+11=0\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-4)^2-1.11=5>0\)

Ta có: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11\)

Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:\(2x^2-8x-29=0\)

Hướng dẫn:

Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}\)

Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2+10x+25\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-5)^2-1.25=0\)

Vậy \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25\)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6

Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(x_1\) và \(x_2\)\(\Rightarrow x_1+x_2=5; x_1.x_2=6\)

Lại có \(S^2=25>4P=24\)

Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-5x+6=0\)

\(\Rightarrow x_1=3, x_2=2\) hoặc \(\Rightarrow x_1=2, x_2=3\)

Bài 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b

Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=11\\ ab=60 \end{matrix}\right.\)

Thế \(a=11+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+11)=60\Leftrightarrow b^2+11b-60=0\)

\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=4\)

\(b=-15\Rightarrow a=-4\)

\(b=4\Rightarrow a=15\)

Lời kết

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số 9 Chương 4 Bài 6 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Đại số 9 Chương 4 Bài 6 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Đại số 9 Chương 4 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9

-- Mod Toán Học 9 HỌC247