Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Hình học 9

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK

Ở bài trước ta đã biết đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (hay có 1 điểm chung với đường tròn) thì gọi là tiếp tuyến. Vậy làm thế nào để xác định và chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến thì bài này chúng ta sẽ biết được câu trả lời thông qua bài học dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến.

Tóm tắt lý thuyết

1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lý:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

2. Áp dụng

Bài toán: Qua điểm A ngoài đường tròn (O) hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn

Cách dựng:

Dựng M là trung điểm AO. Dựng đường tròn tâm M bán kính MO cắt (O) tại B, C. Kẻ AB, AC là các tiếp tuyến của (O)

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho M và (O). Hãy vẽ tiếp tuyến của (O) đi qua M trong các trường hợp

a) M nằm ngoài đường tròn

b) M nằm trên đường tròn

Hướng dẫn: 

a) Dựng K là trung điểm OM. Sau đó vẽ đường tròn tâm K bán kính KM. (K;KM) cắt (O) tại A, B. Khi đó MA, MB chính là tiếp tuyến của đường tròn

b) Nối bán kính OM. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OM tại M. d chính là tiếp tuyến của (O).

Bài 2:Cho (O;12) M cách O 20. Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm)

1) Tính MA

2) Vẽ dây AB vuông góc với OM. Chứng minh MB là tiếp tuyến

Hướng dẫn:

1) Áp dụng định lý pi-ta-go: \(MA=\sqrt{MO^2-OA^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\)

2) Gọi H là giao điểm của AB với OM

Xét 2 tam giác OAH và OBH là 2 tam giác vuông tại H; OA=OB=R; OH chung nên \(\Delta OAH=\Delta OBH\Rightarrow HA=HB\)

Tam giác MAB có MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên MAB cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{MBH}\)

ta lại có tam giác OAB cân nên: \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\). Khi đó: \(\widehat{MBO}=\widehat{MBH}+\widehat{OBA}=\widehat{MAH}+\widehat{OAB}=90^{\circ}\)

Vậy MB là tiếp tuyến

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn sao cho \(\widehat{CAB}=30^{\circ}\). M là điểm đối xứng với O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn: 

Tam giác ABC vuông tại C. \(\widehat{CAB}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{CBA}=60^{\circ}\) mà \(CO=OB\) nên tam giác COB đều suy ra CB=OB

Tam giác COM có trung tuyến CB và CB=OB=BM nên tam giác COM vuông tại C suy ra MC là tiếp tuyến của (O)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1:  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB, AC. E,D là hình chiếu của H lên AB, AC

Chứng minh rằng: MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Hướng dẫn:

Ta có: \(\widehat{BMA}=\widehat{BME}+\widehat{AME}=\widehat{BHE}+\widehat{AHE}=90^{\circ}\). Tương tự \(\widehat{ANC}=90^o\)

\(\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=2.\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\) M, A, N thẳng hàng

Gọi K là trung điểm BC. Xét tứ giác MBCN có \(MB\parallel CN\) nên MBCN là hình thang.

KA là đường trung bình của hình thang nên \(KA\perp MN\) tại A. Nên MN là tiếp tuyến của (K;KA) (đường tròn đường kính BC)

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn với CE, BD là đường cao. H là giao điểm của CE và BD. 

a) Chứng minh A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn đặt là (O)

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ME, MD là các tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn:

a) Các tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông lần lượt tại E và D với AH là cạnh huyền chung. Gọi O là trung điểm AH khi đó

(O;OA) sẽ đi qua các điểm A, E, H, D

b) Xét tam giác AOE có OA=OE nên tam giác AOE cân tại O suy ra \(\widehat{OEA}=\widehat{OAE}\)     (1)

Gọi F là giao điểm AH với BC. Vì H là trực tâm nên \(AF\perp BC\) tại F.

Ta lại có: \(\widehat{OAE}=\widehat{MCE}\)  ( vì cùng phụ với \(\widehat{MBE}\)). mà \(\widehat{MCE}=\widehat{MEC}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{MEC}=\widehat{OEA}\)nên: \(\widehat{MEO}=\widehat{MEC}+\widehat{CEO}=\widehat{OEA}+\widehat{CEO}=90^{\circ}\). Vậy ME là tiếp tuyến

Tương tự cho MD

-- Mod Toán Học 9 HỌC247