Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai - Đại số 9

5 trắc nghiệm 2 bài tập SGK

Trong bài trước chúng ta đã được tìm hiểu khái niệm về phương trình bậc hai, có phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, đôi khi vô nghiệm. Vậy có các công thức nào để tính các nghiệm ấy không?

Tóm tắt lý thuyết

1. Công thức nghiệm

Ta có phương trình tổng quát: \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\)

Chuyển hạng tử c sang vế phải, ta có: \(ax^2+bx=-c\)

Vì \(a\neq 0\) nên chia cả hai vế cho a, ta có: \(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)

Biến đổi để thành hằng đẳng thức: \(x^2+2.\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=-\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

Đặt \(\Delta =b^2-4ac\)

Ta có các kết luận sau đây:

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):

\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)

\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.

2. Áp dụng

Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Giải phương trình: \(x^2+5x-15=0\)

Giải: Dễ dàng xác định được hệ số của phương trình trên là: \(a=1;b=5;c=-15\)

Tính \(\Delta =b^2-4ac=5^2-4.1.(-15)=85>0\)

Vậy phương trình trên có các nghiệm là: \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}\); \(x_{2}=\frac{-5-\sqrt{85}}{2}\)

Ví dụ 2:

Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

\(9x^2+6x+1=0\)

Giải: Ta có: \(\Delta =6^2-4.9.1=0\)

Vậy phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.

 

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Không giải phương trình, hãy cho biết số nghiệm của phương trình sau:

\(x^2+5x-34=0\); \(2x^2-3x+15=0\)

Hướng dẫn:\(x^2+5x-34=0\)

\(\Delta =5^2-4.1(-34)=161>0\)

Vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt

Tương tự đối với phương trình: \(2x^2-3x+15=0\)

\(\Delta =(-3)^2-4.2.15=-111<0\)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình: \(x^2+14x+49=0\); \(x^2-2x-5=0\)

Hướng dẫn: \(x^2+14x+49=0\)

Giải: \(\Delta =14^2-4.1.49=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-14}{2}=-7\)

\(x^2-2x-5=0\)

Giải: \(\Delta =(-2)^2-4.1.(-5)=24\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{6}>0\)

\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-2)+2\sqrt{6}}{2}=1+\sqrt{6};x_{2}=\frac{-(-2)-2\sqrt{6}}{2}=1-\sqrt{6}\)

Bài 3: Giải phương trình bằng 2 cách: \(x^2+8x+18=0\)

Hướng dẫn: Cách 1 dùng biệt thức \(\Delta \Rightarrow \Delta <0\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm

Cách 2: Biến đổi \(x^2+8x+18=(x+4)^2+2> 0\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho phương trình: \(-x^2+2x+2017^{2017}=0\). Không giải phương trình , hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm. 

Hướng dẫn: Ta có, \(\Delta =b^2-4ac\).

Nhận thấy \(b^2>0\); \(ac=-2017^{2017}<0\Rightarrow 4ac>0\)

Vậy \(\Delta >0\forall x\epsilon \mathbb{R}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Tương tự câu trên, cho phương trình: \(x^2+2x-2018^{2018}=0\). Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm. Kết hợp bài 1 và 2 phần nâng cao, các bạn có nhận xét gì?

Hướng dẫn: Tương tự câu trên, ta cũng suy ra được phương trình \(x^2+2x-2018^{2018}=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: với a, c trái dấu, phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt!

-- Mod Toán Học 9 HỌC247