Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Hình học 9

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK

Ta đã học ở bài trước về dây cung và đường kính. Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu mối liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây.

Tóm tắt lý thuyết

1. Bài toán

Cho AB và CD là 2 dây (khác đường kính) của đường tròn (O;R). Gọi OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD. CMR: \(OE^2+EB^2=OF^2+FD^2\)

Áp dụng định lý pi-ta-go cho 2 tam giác vuông OEB và OFD ta có:

\(OE^2+EB^2=OB^2=R^2\) và \(OF^2+FD^2=OD^2=R^2\) ta có đpcm

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lý 1:

Trong một đường tròn: 

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Định lý 2:

Trong một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5, dây AB=8.

a) Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1, Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. CM: CD=AB

Hướng dẫn:

a) Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên AB. Khoảng cách từ O đến AB chính là OE

\(OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)

b) Gọi F là hình chiếu vuông góc của O lên CD khi đó khoảng cách từ O đến CD chính là OF

Tứ giác OFIE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật nên OF=EI=AE-AI=4-1=3

suy ra OE=OF theo định lý 1 thì AB=CD

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên trong đường tròn (A không trùng O). Chứng minh rằng trong tất cả các dây đi qua A thì dây vuông góc với OA tại A là dây ngắn nhất

Hướng dẫn: 

Gọi FG là dây vuông góc với OA, HE là dây bất kì của đường tròn (O) đi qua A. J là hình chiếu vuông góc của O lên HE. Khi đó ta luôn có \(OJ\leq OA\)

Theo định lý 2 thì bất kì dây HE nào thì đều lớn hơn dây FG. Do khoảng cách từ O đến FG là lớn nhất (OA)

Bài 3: Cho đường tròn tâm (O) các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại  nằm bên ngoài đường tròn. Goij H, K lần lượt là trung điểm AB và CD. CMR:

a) EH=EK

b) EA=EC

Hướng dẫn:

a) Ta có: vì H, K là trung điểm AB và CD nên OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD. 

Xét 2 tam giác vuông OHE và OKE có: Huyền OE chung; OH=OK ( dây AB=CD) nên \(\Delta OHE=\Delta OKE(ch-cgv)\Rightarrow EH=EK\)

b) \(EA=EH+HA; EC=EK+KC\) mà EH=EK (CM trên); \(HA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=KC\Rightarrow EA=EC\)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: 

 Cho đường tròn (O;R). Vẽ hai bán kính OA, OB . Trên các bán kính OA, OB lấy M,N sao cho OM=ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)

a) CM: CM=DN

b) giả sử \(\widehat{AOB}=90^{\circ}\) . Tính OM theo  R sao cho CM=MN=ND

Hướng dẫn:

Xét 2 tam giác COM và DON có: OM=ON (gt); \(\widehat{OCM}=\widehat{ODN}\) (OCD cân); OC=OD; \(\widehat{OMC}=\widehat{OND}\) 

nên \(\Delta COM=\Delta DON\Rightarrow DN=CM\)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN và đặt OH=x khi đó \(OM=x.\sqrt{2}\). Vì Tam giác OMN vuông cân nên HN=OH=x suy ra \(HD=3.x\)

do tam giác OHD vuông nên: \(OH^2+HD^2=OD^2\Rightarrow x^2+9.x^2=R^2\Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{10}}\Rightarrow OM=\frac{R}{\sqrt{5}}\)

Bài 2: Cho (O;R) vẽ 2 dây cung AB và CD không qua tâm và vuông góc với nhau tại M. Đặt OM=d, I, K là trung điểm AB, CD

a) CM: \(AB^2+CD^2=4(2R^2-d^2)\)

b) CM: \(AC^2+BD^2=4R^2\)

Hướng dẫn:

a) Tứ giác KMIO có 3 góc vuông nên KMIO là hình chữ nhật suy ra: OK=MI

Khi đó: \(AB^2+CD^2=(2AI)^2+(2KD)^2=4(AI^2+KD^2)\)

\(=4(R^2-OI^2+R^2-OK^2)=4(2R^2-(OI^2+IM^2))=4(2R^2-d^2)\)

b) Gọi AE là đường kính của (O).Ta sẽ chứng minh tứ giác CEBD là hình thang cân

Đầu tiên: do tam giác ABE có AE là đường kính nên ABE vuông tại B hay \(EB\perp AB\Rightarrow EB\parallel CD\)

Gọi H là trung điểm EB nên \(KH\perp EB\) nên tứ giác CEBD là hình thang cân \(\Rightarrow BD=CE\)

\(AC^2+BD^2=AC^2+CE^2=AE^2=4R^2\)

 

-- Mod Toán Học 9 HỌC247