Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây - Hình học 9

5 trắc nghiệm 4 bài tập SGK

Trong một đường tròn, một dây chỉ căng một cung tương ứng của nó. Vậy có khi nào ta đã đặt câu hỏi rằng có mối quan hệ nào giữa cung và dây hay không?

Tóm tắt lý thuyết

1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

- \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB=CD\)

- \(AB=CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\)

2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

- \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB>CD\)

- \(AB>CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\)

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn \((O;R)\) với \(R=4cm\). \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn sao cho sđ\(\stackrel\frown{AB}=90^0\). Tính \(AB\)

Hướng dẫn: Theo đề bài, ta có \(\widehat{AOB}=\)sđ\(\stackrel\frown{AB}\)\(=90^0\). Áp dụng định lí Pytago cho \(\bigtriangleup AOB\) vuông tại \(O\), ta có \(AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\)

Bài 2: Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\). Điểm \(A\)  trên đường tròn sao cho \(\widehat{ABC}=70^0\). So sánh \(AB\) và \(AC\)

 

Hướng dẫn: \(\bigtriangleup ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{ABC}=70^0\) nên \(\widehat{ACB}=90^0-70^0=20^0\), suy ra \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{AC}\Rightarrow AC>AB\)

Bài 3: Dựa vào hình vẽ sau, hãy so sánh \(AB\) và \(CD\)

Hướng dẫn: 

Ta có:

\(\widehat{DOC}=90^0+60^0=150^0\) 

\(\widehat{AOB}=180^0-\widehat{AOC}=180^0-60^0=120^0\)

Do đó \(\widehat{DOC}>\widehat{AOB}\Rightarrow\stackrel\frown{CD}>\stackrel\frown{AB}\Rightarrow CD>AB\)  

2. Bài tập nâng cao.

Bài 1: Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(\stackrel\frown{AB},\stackrel\frown{CD}\) của đường tròn. Gọi \(H,K\) là lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \(O\) đến \(AB,CD\).

Chứng minh rằng \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Leftrightarrow OH<OK\)

 

Hướng dẫn: Ta thấy \(\bigtriangleup OAB\) cân tại \(O\) và \(\bigtriangleup OCD\) cân tại \(O\) nên \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\).

Lúc đó: \(\dpi{100} \stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Leftrightarrow AB>CD\Leftrightarrow OH<OK\)

Bài 2: Cho \((O)\) có dây cung \(BC\) cố định. Gọi \(A\) là điểm thuộc cung lớn \(BC\) sao cho \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\). Chứng minh rằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\) lớn hơn khoảng cách từ \(O\) đến \(AC\)

Hướng dẫn: Gọi \(P,Q\) lần lượt là chân đường cao hạ từ \(O\) đến \(AB,AC\). Ta sẽ chứng minh \(OP>OQ\).

\(\bigtriangleup ABC\) có \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\) nên \(AB<AC\). Mà theo bài tập ở trên, đường tròn \((O)\) có \(AB<AC\Leftrightarrow OP>OQ\)

-- Mod Toán Học 9 HỌC247