Đại số 8 Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối


Với bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học

Tóm tắt lý thuyết

1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Với số a, ta có: \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,\,neu\,\,\,a \ge 0\\ - a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có: \(|f(x)| = \left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,neu\,\,f(x)\, \ge 0\\ - f(x)\,\,neu\,\,f(x)\, < \,0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a. \(A = |x - 4| + x - 3\)  khi \(x \ge 4.\)

b. \(B = 2x + 3 - |1 - 2x|\) khi \(x \ge \frac{1}{2}\)

c. \(C = |x - 2| + |2x - 3| + 2x + 1\) khi x > 2.

d. \(D = |x - 1| + 2x - 3.\)

Giải

a. Với giả thiết \(x \ge 4\), ta suy ra: x – 4 \(x - 4 \ge 0 \Rightarrow |x - 4| = x - 4\)

Do đó, A được viết lại: \(A = x - 4 + x - 3 = 2x - 7.\)

b. Với giả thiết \(x \ge \frac{1}{2}\), ta suy ra: \(1 - 2x \le 0 \Rightarrow |1 - 2x| =  - (1 - 2x)\)

Do đó, B được viết lại: \(B = 2x + 3 - {\rm{[}} - (1 - 2x){\rm{]}} = 2x + 3 + 1 - 2x = 4\)

c. Với giả thiết x > 2, ta suy ra: \(x - 2 > 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2\)

\(2x - 3 > 0 \Rightarrow |2x - 3| = 2x - 3\)

Do đó, C được viết lại: C = x – 2 + 2x – 3 + 2x +1 = 5x – 4.

d. Ta đi xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1,\) ta được: \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}x - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2x - 3 = 3x - 4\)

Trường hợp 2: Khi \(x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\), ta được: \(D =  - (x - 1) + 2x - 3 = x - 2.\)

Tóm lại: \(D = \left\{ \begin{array}{l}3x - 4\,\,khi\,\,x\, \ge 1\\x - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x\,\, < \,1\end{array} \right.\)

2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối

Ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:

Dạng 1: Phương trình: |f(x)| =k, với k là hằng số không âm.

Dạng 2: Phương trình: |f(x)| = |g(x)|

Dạng 3: Phương trình: |f(x)| = g(x)

Bài toán 1: Giải phương trình: |f(x)=k, với k là hằng số không âm.

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó: \(\left| {f(x)} \right| = k \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}f(x) = k\\f(x) =  - k\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện , từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.


Ví dụ 2: Giải phương trình

a. \(|2x - 3| = 1\)

b. \(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| - 2 = 0\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình: \(|2x - 3| = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 1\\2x - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1 + 3\\2x =  - 1 + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1

b. Điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne 0\)

Biến đổi tương đương phương trình:

\(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{x} = 2\\\frac{{x + 1}}{x} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2x\\x + 1 =  - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2x =  - 1\\x + 2x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và \(x =  - \frac{1}{3}.\)


Bài toán 2: Giải phương trình |f(x)| = |g(x)|

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

Bước 2: Khi đó \(|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.


Ví dụ 3: Giải phương trình

a. |2x + 3| = |x – 3|

b. \(\left| {\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}} \right| - |x| = 0\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình: |2x + 3| = |x – 3|

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = x - 3\\2x + 3 =  - (x - 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - x =  - 3 - 3\\2x + x = 3 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 6\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.

b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\)

Biến đổi tương đương phương trình

\(\left| {\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}} \right| = |x| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x\\\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =  - x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2 = x(x + 1)\\{x^2} - x + 2 =  - x(x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2{x^2} =  - 2\,\,(VN)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.


Bài toán 3: Giải phương trình |f(x)|=g(x).

Phương pháp giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

 Bước 2: Xét hai trường hợp:

** Trường hợp 1: Nếu \(f(x) \ge 0.\)   (1)

Phương trình có dạng: \(f(x) = g(x) \Rightarrow \) nghiệm và kiểm tra điều kiện (1).

** Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0.   (2)

Phương trình có dạng: -f(x) = g(x)

\( \Rightarrow \) nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)

Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và \(g(x) \ge 0.\)

Bước 2: Khi đó  \(|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.


Ví dụ 4: Giải phương trình: |x + 4| + 3x = 5.

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Xét hai trường hợp:

       Trường hợp 1: Nếu \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 4\)   (1)

Khi đó, phương trình có dạng:

\(x + 4 + 3x = 5 \Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4},\) thoả mãn điều kiện (1)

     Trường hợp 2: Nếu \(x + 4 < 0 \Leftrightarrow x <  - 4\)   (2)

Khi đó, phương trình có dạng:

\( - (x + 4) + 3x = 5 \Leftrightarrow 2x = 9\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{9}{2},\) không thoả mãn điều kiện (2)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

Cách 2: Viết lại phương trình dạng: |x + 4| = 5 – 3x

Với điều kiện: \(5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{3}\) (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi: |x + 4| = 5 – 3x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 5 - 3x\\x + 4 =  - (5 - 3x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = \frac{9}{2}\,\,(khong\,\,thoa\,\,man\,(*))\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình: |2x – 3m| = |x + 6|, với m là tham số.

Giải

Biến đổi tương đương phương trình

\(|2x - 3m|\,\, = \,|x + 6|\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x - 3m = x + 6\\2x - 3m =  - (x + 6)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x - x = 6 + 3m\\2x + x =  - 6 + 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6 + 3m\\x = m - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6 + 3m và x = m – 2.


Bài 2: Giải phương trình: \(2\left| {x-1} \right| = {x^2} - 2x - 2.\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(({x^2} - 2x + 1) - 2|x - 1| - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} - 2|x - 1| - 3 = 0\)  (1)

Đặt t = |x – 1|, điều kiện \(t \ge 0\).

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t - 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t(t + 1) - 3(t + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (t + 1)(t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Với t = 3, ta được: \(|x - 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\x - 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 4 hoặc x = -2.


Bài 3: Giải phương trình \(\frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} = 2\)   (1)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - 1\)

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đặt  \(t = \frac{{|x + 1|}}{3},\) điều kiện t > 0.

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow \frac{1}{t} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|x + 1|}}{3} = 1 \Leftrightarrow |x + 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = -4.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được:

\(VT = \frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{3}{{|x + 1|}}.\frac{{|x + 1|}}{3}}  = 2 = VP\)

Vậy phương trình tương đương với:

\(\frac{3}{{|x + 1|}} = \frac{{|x + 1|}}{3} \Leftrightarrow 9 = {(x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghệm x = 2 và x = -4.

Lời kết

Trên đây là bài học Đại số 8 Bài 5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và hướng dẫn Giải bài tập Đại số 8 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số 8 Bài 5. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Đại số 8 Bài 5 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này.

-- Mod Toán Học 8 HỌC247