Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu - Luyện tập - Đại số 8


Với bài học này chúng ta sẽ được tìm hiểu về Phương trình chứa ẩn ở mẫu , cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

Tóm tắt lý thuyết

1. Đặt vấn đề

Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\)

Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý:

1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\)

\( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

2. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\)

điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1.\)

Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\)

Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)

\( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 0.


Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\)

\( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\)
\( \Leftrightarrow  - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\)
\( \Leftrightarrow  - 2x =  - 10\)
\( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.

Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x(x - 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} - 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  \pm 5\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{(x + 5)^2} - {(x - 5)^2} = x(x + 25)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 - {x^2} + 10x - 25 = {x^2} + 25x\)

\( \Leftrightarrow 5x =  - 25 \Leftrightarrow x =  - 5\) không thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 \ne 0\\7 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\)

Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu:

\(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} =  - \frac{1}{{x - 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} =  - \frac{1}{{x - 7}} + \frac{{8(x - 7)}}{{x - 7}}\)

\( \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8(x - 1) \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8x - 56\)

\( \Leftrightarrow x - 8x =  - 1 - 56 + 8 \Leftrightarrow  - 7x =  - 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ:

\(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} + \frac{1}{{x - 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8 + 1}}{{x - 7}} = 8\)

\( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 3x + \frac{3}{{x - 2}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\({x^2} - 3x + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 1 - 3}}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 4}}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

* x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.

Lời kết

Trên đây là bài học Đại số 8 Chương 3 Bài 5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu và hướng dẫn Giải bài tập Đại số 8 Chương 3 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số 8 Chương 3 Bài 5. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Đại số 8 Chương 3 Bài 5 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này. 

-- Mod Toán Học 8 HỌC247