Đại số 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

4 trắc nghiệm 4 bài tập SGK 3 hỏi đáp

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp). Đây là phần tiếp theo của bài học trước, ở bài học này chúng ta sẽ xét các hằng đẳng thức liên quan đến lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

Tóm tắt lý thuyết

Kiến thức cần nhớ:

1. Lập phương của một tổng: \({(A + B)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

2. Lập phương của một hiệu: \({(A - B)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)  

Việc chứng minh các hằng đẳng thức này cũng dựa trên việc nhân đa thức với đa thức.

Chẳng hạn như ở hằng đẳng thức lâp phương của một tổng ta có thể chứng minh như sau :

\(\begin{array}{l} {(A + B)^3} = (A + B){(A + B)^2}\\ = (A + B)({A^2} + 2AB + {B^2})\\ = {A^3} + 2{A^2}B + A{B^2} + {A^2}B + 2A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}\)

chúng ta cũng chứng minh tương tự cho hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Bài tập minh họa

Bài 1. Tính nhanh:

a. \({97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\)

b. \({16^3} - {3.16^2}.6 + {3.16.6^2} - {6^3}\) 

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} {97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\\ = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000 \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} {16^3} - {3.16^2}6 + {3.16.6^2} - {6^3}\\ = {\left( {16 - 6} \right)^3} = {10^3} = 1000 \end{array}\)

Bài 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + 1} \right)^3}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + 1} \right)^3}\\ = {\left[ {(x + y) + 1} \right]^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2} + 3(x + y) + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3x + 3y + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 3x + 3y + 1 \end{array}\)

Bài 3. Chứng minh rằng: \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\)

Hướng dẫn:

Ta có thể biến đổi vế phải như sau

\(\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xy + xz + {y^2} + yz)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xyz + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}y + {x^2}z + {y^2}x + xyz)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 6xyz + 3x{z^2} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2}\\ = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {3{x^2}z + 6xyz + 3{y^2}z} \right) + \left( {3x{z^2} + 3y{z^2}} \right) + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3({x^2} + 2xy + {y^2})z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2}z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} \end{array}\)

Bên cạnh đó các em cũng có thể biến đổi từ vế trái thành vế phải.

Lời kết

Trên đây là bài học Đại số 8 Bài 4 Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) và hướng dẫn Giải bài tập Đại số 8 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp). Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số 8 Bài 4. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Đại số 8 Bài 4 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này.

-- Mod Toán Học 8 HỌC247