Hình học 8 Bài 1: Tứ giác

1 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 5 hỏi đáp

Với bài học này chúng ta sẽ làm quen với Tứ giác - một khái niệm căn bản của hình học 

Tóm tắt lý thuyết

Tứ giác

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi

Tứ giác đơn là tứ giác mà các cạnh chỉ cắt nhau tại đỉnh.

Tứ giác lồi là tứ giác đơn luôn nằm trong nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Tính chất

a) Tính chất đường chéo

Người ta chứng minh được rằng:

Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác.

Ngược lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của nó thì tứ giác ấy là tứ giác lồi.

b) Tính chất góc

Định lí:

Tổng số do bốn góc của tứ giác bằng \({360^ \circ }\)

Phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp chứng minh phản chứng được tóm tắt như sau:

"Để chứng minh mệnh đề A là đúng, ta giả thiết rằng a là sai. Từ giả thiết A sai ta rút ra được kết luận vô lí (trái với giả thiết hoặc trái với các định lí, tiên đề hoặc trái với các kết luận đúng mà ta có)."

Như vậy A đúng.

Bài tập minh họa

Bài tập cơ bản

Cho tứ giác ABCD có các góc A, B, C, D có số đo tỉ lệ với các số 1; 2; 3; 4.

Tính số đo của các góc \(\widehat {\rm{A}}\)\(\widehat {\rm{B}}\)\(\widehat {\rm{C}}\)\(\widehat {\rm{D}}\)

Ta có: \(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = \frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = \frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}}}}{{1 + 2 + 3 + 4}} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{10}} = {36^ \circ }\)

( vì \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}} = {360^ \circ }\)).

Vậy:

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{A}} = {36^ \circ }\) ; \(\frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{B}} = {72^ \circ }\);

\(\frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{C}} = {108^ \circ }\)\(\frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{D}} = {144^ \circ }\).

Bài tập nâng cao:

Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD; \(\widehat {\rm{B}} = {90^ \circ };\widehat {\rm{A}} = {60^ \circ }\) và \(\widehat {\rm{D}} = {135^ \circ }\).

1. Tính góc \(\widehat {\rm{C}}\) và chứng minh rằng BD = BC.

2. Từ A ta kẻ AE vuông góc với đường CD. Tính các góc của tam giác AEC.

Giải

1. Ta có: \(\begin{array}{l} \widehat {\rm{C}} = {360^ \circ } - ({60^ \circ } + {90^ \circ } + {135^ \circ })\\ \Rightarrow \widehat {\rm{C}} = {75^ \circ } \end{array}\)

Tam giác ABD có AB = AD và \(\widehat {\rm{A}} = {60^ \circ }\)

nên nó là ta giác đều, suy ra:

\(\widehat {{\rm{D}}_1^{}} = {60^ \circ }{\rm{ }}\) và \( \widehat {{\rm{D}}_2^{}} = {135^ \circ }{\rm{ - }}\widehat {{\rm{D}}_1^{}}{\rm{ = 13}}{{\rm{5}}^ \circ }{\rm{ - }}{60^ \circ } = {75^ \circ }{\rm{ }}\)

Tam giác CBD có \(\widehat {\rm{C}} = {\rm{ }}\widehat {{\rm{D}}_2^{}} = {75^ \circ }{\rm{ }}\) nên nó là tam giác cân. Vậy BD = BC.

2. Tứ giác ABCE có \(\widehat {\rm{B}} = {90^ \circ }{\rm{,}}\widehat {\rm{E}} = {90^ \circ }{\rm{; }}\widehat {\rm{C}}{\rm{ = 7}}{{\rm{5}}^ \circ }{\rm{ }}\) nên: \(\widehat {{\rm{EAB}}}{\rm{ = 36}}{0^ \circ } - ({90^ \circ } + {90^ \circ } + {75^ \circ }) = {105^ \circ }\)

Ta có: BC = BD mà BD = BA \( \Rightarrow \) BC = BA

\( \Rightarrow \) \(\Delta {\rm{ABC}}\) là tam giác vuông cân nên : \(\widehat {{\rm{BAC}}} = {45^ \circ }\).

ta có: \(\widehat {{\rm{CAE}}} = {105^ \circ } - {45^ \circ } = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {{\rm{ACE}}} = {90^ \circ } - {60^ \circ } = {30^ \circ }\)

Chú ý: có thể tính \(\widehat {{\rm{ACE}}} \) trước;

\(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông cân \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BCA}}} = {45^ \circ }.\)

\(\widehat {{\rm{EAC}}} = \widehat {{\rm{ECB}}} - \widehat {{\rm{ACB}}} = {75^ \circ } - {45^ \circ } = {30^ \circ }\).

Lời kết

Trên đây là bài học Hình học 8 Bài 1 Tứ giác và hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Tứ giác. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 1. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Hình học 8 Bài 1 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này.

-- Mod Toán Học 8 HỌC247