Bài 8: Cộng, trừ đa thức một biến - Luyện tập - Đại số 7


Ở bài trước các em đã được tìm hiểu về khái niệm Đa thức một biến, trong bài học này các em sẽ được học về cách thực hiện các phép toán cộng, trừ trên các đa thức này. Bên cạnh đó là hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm vững được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

Tóm tắt lý thuyết

Để cộng hoặc trừ các đa thức một biến, ta có thể theo một trong hai cách sau:

  • Cách 1: Tương tự như cộng trừ đa thức đã học ở §6.
  • Cách 2: Sắp xếp chúng cùng theo luỹ vừa giảm (hoặc tăng) của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng và trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở trong cùng một cột).

Ví dụ 1:

Cho các đa thức:

\(\begin{array}{l}f(x) = 3{x^2} - 7 + 5x - 6{x^2} - 4{x^3} + 8 - 5{x^5} - {x^3}\\g(x) =  - {x^4} + 2x - 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 - x\end{array}\)

a. Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo luỹ thừa giảm của biến.

b. Xác định bậc của mỗi đa thức.

c. Cho biết hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.

d. Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x).

Hướng dẫn giải:

a. \(\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5} - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = {x^4} + 3{x^3} + x + 1\end{array}\).

b. Đa thức f(x) có bậc 5, đa thức g(x) có bậc 4.

c. Đa thức f(x) có hệ số cao nhất là -5, hệ số tự do là 1

Đa thức g(x) có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 1.

d.

\(\frac{\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) + g(x) =  - 5{x^5} + {x^4} - 2{x^3}\, - 3x{}^2 + 6x + 2}}\)

 

\(\frac{\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\ - \\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) - g(x) =  - 5{x^5} - {x^4} - 8{x^3}\, - 3x{}^2 + 4}}\).


Ví dụ 2:

Tìm đa thức h(x) sao cho f(x) – h(x) = g(x) biết:

a. \(f(x) = {x^2} + x + 1\)

\(g(x) = 7{x^5} + {x^4} - 2{x^3} + 4\)

b. \(f(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1\)

\(g(x) = x + 3\)

Hướng dẫn giải:

a. \(h(x) = f(x) - g(x) = {x^2} + x + 1 - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} - 4 =  - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3\).

b. \(h(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1 - x - 3 = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + x - 4\).


Ví dụ 3:

Tính hiệu f(x) – g(x) biết:

a. \(f(x) = {x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7\)

\(g(x) =  - 2{x^5} + 6{x^4} - 2x{{\kern 1pt} ^2} + 6\).

b. \(f(x) = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7\)

\(g(x) =  - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\begin{array}{l}f(x) - g(x) = ({x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7) - ( - 2{x^5} + 6{x^4} - 2{x^2} + 6)\\ = ({x^5} + 2{x^5}) + ( - 4{x^4} - 6{x^4}) + ( - 2{x^2} + 2{x^2}) + ( - 7 - 6)\\ = 3{x^5} - 10{x^4} - 13\end{array}\).

b. \(\begin{array}{l}f(x) + g(x) = (5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7) - ( - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5)\\ = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7 + 4{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x - 5\\ = (5{x^4} + 4{x^4}) + (7{x^3} - 2{x^3}) + ( - 6{x^2} + 5{x^2}) + (3x - 4x) + ( - 7 - 5)\\ = 9{x^4} + 5{x^3} - {x^2} - x - 12\end{array}\).

Bài tập minh họa

Bài 1: 

Cho đa thức :

\(P(x) =  - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\)

Tính P(1), P(0), P(-1).

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta thu gọn đa thức:

\(\begin{array}{l}P(x) =  - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,( - 9{x^3} - 7{x^3} - 15{x^3}) + (5{x^4} - {x^4}) + (8{x^2} - 4{x^2}) + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 31{x^3} + 4{x^4} + 4{x^2} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{x^4} - 31{x^3} + 4{x^2} + 15\end{array}\)

Nên ta có:

\(P(1) = {4.1^4} - {31.1^3} + {4.1^2} + 15 = 4 - 31 + 4 + 15 =  - 8\)

\(P(0) = 4.0 - 31.0 + 4.0 + 15 = 15\)

\(\begin{array}{l}P( - 1) = 4.{( - 1)^4} - 31.{( - 1)^3} + 4.{( - 1)^2} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4.1 - 31.( - 1) + 4.1 + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,4 + 31 + 4 + 15 = 54\end{array}\)


Bài 2: 

Cho đa thức: \(f(x) = 3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2\)

Hãy tìm đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x).

Hướng dẫn giải:

Đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x) nên ta có g(x) = -f(x). Do đó:

\(\begin{array}{l}g(x) =  - (3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 3{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 7x - 2\end{array}\)


Bài 3: 

Cho các đa thức:

\(\begin{array}{l}A =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\end{array}\)

a. Tính C=A+B, D=A-B, E=C-D.

b. Tính giá trị của các đa thức A, B, C, D tại x= -1.

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l}C = A + B\\\,\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6) + (3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4)\\\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 3{x^3}) + (4{x^2} - 6{x^2}) + ( - 5x + 5x) + (6 - 4)\\\,\,\,\,\, =  - 2{x^2} + 2\\D = A - B\\\,\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6) - (3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4)\\\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} - 3{x^3}) + (4{x^2} - 6{x^2}) + ( - 5x + 5x) + (6 + 4)\\\,\,\,\,\, =  - 6{x^3} + 10{x^2} - 10x + 10\end{array}\)

\(\begin{array}{l}E = C - D\\\,\,\,\,\, = \,( - 2{x^2} + 2) - ( - 6{x^3} + 10{x^2} - 10x + 10)\\\,\,\,\,\, =  - 2{x^2} + 2 + 6{x^3} - 10{x^2} + 10x - 10\\\,\,\,\,\, = \, - 12{x^2} - 8 + 6{x^3} + 10x\\\,\,\,\, = 6{x^3} - 12{x^2} + 10x - 8\end{array}\)

b. Tính giá trị của các đa thức tại x=-1

\(\begin{array}{l}A =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\\,\,\,\,\, =  - 3.{( - 1)^3} + 4.{( - 1)^2} - 5.( - 1) + 6\\\,\,\,\,\, =  - 3.( - 1) + 4.1 - 5.( - 1) + 6\\\,\,\,\,\, = \,3 + 4 + 5 + 6 = 18\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\\\,\,\,\,\, = 3.{( - 1)^3} - 6.{( - 1)^2} + 5.( - 1) - 4\\\,\,\,\,\, = 3.\,( - 1) - 6.1 + 5.( - 1) - 4\\\,\,\,\,\, =  - 3 - 6 - 5 - 4 =  - 18\\C =  - 2.{( - 1)^2} + 2 =  - 2.1 + 2 = 0\\D =  - 6.{( - 1)^3} + 10.{( - 1)^2} - 10.( - 1) + 10\\\,\,\,\,\, =  - 6.( - 1) + 10.1 - 10.( - 1) + 10\\\,\,\,\,\, = 6 + 10 + 10 + 10 = 36\\E = 6.{( - 1)^3} - 12.{( - 1)^2} + 10.( - 1) - 8\\\,\,\,\, = 6.( - 1) - 12.1 + 10.( - 1) - 8\\\,\,\,\, =  - 6 - 12 - 10 - 8 =  - 36\end{array}\)

Chú ý: Ta có thể tính ngay giá trị của đa thức C,D,E khi biết các giá trị của đa thức A, B (khỏi phải thay x=-1 vào các đa thức C, D,E) như sau:

Cùng tại x=-1 ta có A=18,B=-18.

Nên C=A+B=18+(-18)=0.

D=A-N=18-(-18)=36.

E=C-D=0-36=-36.

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em phương pháp thực hiện phép toán Cộng, trừ đa thức một biến. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số 7 Chương 4 Bài 8 với những câu hỏi củng cố, bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Đại số 7 Chương 4 Bài 8 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Đại số 7 Chương 4 Bài 8 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 7.

-- Mod Toán Học 7 HỌC247