Số học 6 Bài 2: Tập hợp các số nguyên

5 bài tập SGK 1 hỏi đáp

Với bài học này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về Tập hợp các số nguyên​, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng ghi nhớ kiến thức

Tóm tắt lý thuyết

1. Tập hợp các số nguyên

\(\mathbb{Z} = {\rm{\{ }}\underbrace {...{\rm{; - 3; - 2; - 1;}}}_{nguyen\,\,am}\underbrace {{\rm{0;}}}_{so\,\,0}\underbrace {{\rm{1;2;3;}}...}_{nguyen\,\,duong}{\rm{\} }}\)

-3; -2; -1 là các số nguyên âm

1, 2, 3 là các số nguyên dương (các số tự nhiên khác 0)

Số 0 là số nguyên không dương, không âm.

Trục ngang biểu diễn các số nguyên

-1 và 1 là hai số đối nhau

Tổng quát: a và –a là hai số đối nhau. Hai điểm biểu diễn hai số đối nhau đối xứng nhau qua điểm 0.

Chú ý:

+ \(N \subset \mathbb{Z}\). Đặc biệt \(N = {\mathbb{Z}_ + }\) (các số nguyên dương).

+ Các số \(a \ge 0\) gọi là các số không âm. a > 0 là số dương.

+ Các số \(a \le 0\) gọi là các số không âm. a < 0 là số âm.

Thứ tự trong \(\mathbb{Z}\)

- Mọi số không âm đều lớn hơn mọi số âm.

1 > - 1000; 0 > - 2012

- Số nguyên a bé hơn số nguyên b (a < b) thì điểm biểu diễn số a nhằm bên trái điểm biểu diễn số b trên trục số.

Giá trị  tuyệt đối của số nguyên

\(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\\ - A\,neu\,\,A\, < 0\end{array} \right.\)

\(A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\) (tức giá trị tuyệt đối của số dương là chính nó)

- A nếu A< 0 (giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó)

Chú ý:  Giá trị tuyệt đối của một số a bao giờ cũng là số không âm.

Viết:

|+3| = -|3| = 3: Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

|x| = -1 vô nghĩa.

\(\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}4 \Rightarrow a =  \pm 4\) Đặc biệt |0| = 0

Ví dụ 1: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho:

a) -4 < x < 2       b) -2 < x <  2      c) |x| < 3

d) -3 < |x| \( \le 4\)   e) |x| > 5.

Giải

a) \(x \in {\rm{\{  - 3; - 2; - 1;0;1\} }}\)

b) \(x \in {\rm{\{ }} - 1;0;1\} \)

c) \(|x|\,\, < \,\,3 \Rightarrow  - 3 < x < 3 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }} - 2; - 1;0;1;2\} .\)

d) \( - 3 < \,\,|x|\,\, \le 4\,\, \Rightarrow \,x \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4\} \)

e) \(|x|\,\,\, > 5 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }}...{\rm{; - 8; - 7; - 6;6;7;8;}}...{\rm{\} }}\)


Ví dụ 2: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho:

a) |x| = 9 và x < 0       b) |x| = 5

c) |x| = -12                   d) |x| = |-2012|

Giải

a) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}9 \Rightarrow x =  \pm 9\) kết hợp với x < 9 , ta suy ra x = - 9.

b) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}5 \Rightarrow x =  \pm 5\)

c) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }} - 12 \Rightarrow x = \emptyset \,\,\)vì \(|x|\,\, \ge \,\,0\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\)

d) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| { - 2012} \right| = |2012|\, \Rightarrow x =  \pm 2012.\)


Ví dụ 3: Tính

a) (|-24| : |-8|) – 1

b) (|1440| : |-32|) : |-5|.

Giải

a) |-24| = 24,  |-8| = 8

nên (|-24| : |-8|) – 1 = (24 : 8) – 1 = 3 – 1 = 2.

b) (|1440| : |-32|) : |-5| = (1440 : 32) : 5 = 45 : 5 = 9.

Bài tập minh họa

Bài 1:  Tìm \(x,{\rm{ }}y \in \mathbb{Z}\) sao cho

a) |x| + |y| = 4.

b) \(\left| x \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}\left| y \right|\,\,\, \le \,\,2\)

Giải

a) Vì |x| + |y| = 4 \( \Rightarrow \,\,|x|\,\, \le 4;\,\,|y|\,\,\, \le \,\,4.\)

Suy ra \(x \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\)

và \(y \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\)

Kết hợp |x| + |y| = 4 ta suy ra các cặp x, y như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  \pm 4\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 4\\y = 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\y =  \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\y =  \pm 3\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\y =  \pm 1\end{array} \right.\)

b) \(|x|\,\, \le \,\,2;\,|y|\,\, \le \,\,2.\)


Bài 2: Chứng tỏ với mọi \(a \in \mathbb{Z}\), ta luôn có:

a) \(|a| + a \ge 0\)     b) \(|a| - a \ge 0.\)

Giải

a.

Vì \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,neu\,\,a\, > \,0\\ - a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\) nên \(|a| =  \pm a.\)

Suy ra \( \pm a + a = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a\,\, < 0\\2a\,\,khi\,\,a \ge 0\end{array} \right.\) tức \(|a|\,\, + \,\,a\,\, \ge 0.\)

b.

\(|a|\,\, - \,\,a\,\, = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - 2a\,\,khi\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

Vậy \(|a|\,\, - \,\,a\,\, \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{Z}\).


Bài 3:

a) Tìm x để |x - 1| + 2012 đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm x, y \( \in \mathbb{Z}\)  biết rằng \(|x| + |y|\,\, \le 0\)

Giải

a) Vì \(|x - 1| + 2012 \ge 2012\) nên |x – 1| + 2012 nhỏ nhất là 2012.

Lúc đó x = 1.

b) x, y \( \in \mathbb{Z}\)  thì \(|x|\,\, \in \,\,\mathbb{N},\,|y|\,\, \in \,\,\mathbb{N}\) nên \(|x|\,\, + \,|y|\,\, \ge 0\)

Theo đề bài \(|x|\,\, + \,\,|y|\,\, \le 0\) nên x = 0, y = 0.

Lời kết

Trên đây là bài học Số học 6 Bài 2 Tập hợp các số nguyên và hướng dẫn Giải bài tập Số học 6 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Tập hợp các số nguyên. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Số học 6 Bài 2. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Số học 6 Bài 2 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này.

-- Mod Toán Học 6 HỌC247