Giải bài tập SGK Bài 1 Chương 4 Toán 12 Cơ bản & Nâng cao

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

a) \(\small z = 1 - \pi i.\)                             

b) \(\small z = \sqrt{2} - 1\).

c) \(\small z = 2\sqrt{2}\).                                

d) \(\small z = -7i\).

Tìm các số thực x và y, bết:

a) \(\small (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i.\)

b) \(\small (1 - 2x) - i\sqrt{3} = \sqrt{5} + (1 - 3y)i.\)

c) \(\small (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng -2.

b) Phần ảo của z bằng 3.

c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2).

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].

Tính |z| với:

a)\(\small z=-2+i\sqrt{3}\);                         b) \(\small z=\sqrt{2}-3i\)

c) \(\small z = -5\);                                     d) \(\small z=i\sqrt{3}\).

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) |z| = 1.

b) |z| ≤ 1.

c) 1 < |z| ≤ 2.

d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

Tìm , biết:

a) \(\small z = 1 - i\sqrt{2}\). 

b) \(\small z = -\sqrt{2} + i\sqrt{3}\).

c) \(\small z = 5\).                             

d) \(\small z = 7i\).

Tìm các số thực x, y thỏa mãn :

a) \(2x + 1 + (1 - 2y)i = 2 - x + (3y - 2)i\)

b) \(4x + 3 + (3y - 2)i = y + 1 + (x - 3)i\)

c) \(4x + 3 + (3y - 2)i = y + 1 + (x - 3)i\)

Cho hai số phức \(\alpha  = a + bi,\beta  = c + di\). Hãy tìm điều kiện của a, b, c, d để các điểm biểu diễn \(\alpha\) và \(\beta\) trên mặt phẳng tọa độ :
a) Đối xứng với nhau qua trục Ox;
b) Đối xứng với nhau qua trục Oy;
c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;
d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng phần ảo của nó ;
b) Phần thực của z là số đối của phần ảo của nó ;
c) Phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó cộng với 1;
d) Modun của z bằng 1, phần thực của z không âm.

Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 4.2 và hình 4.3?

Hãy biểu diễn các số phức  z trên mặt phẳng tọa độ, biết \(|z| \le 2\) và:
a) Phần thực của z không vượt quá phần ảo của nó;
b) Phần ảo của z lớn hơn 1;
c) Phần ảo của z nhỏ hơn 1, phần thực của z lớn hơn 1.

Cho z ∈ C. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu z ∈ R thì \(z = \bar z\)

B. Nếu \(z = \bar z\) thì z ∈ R

C. Nếu z ∈ R thì z = |z|

D. Nếu z = |z| thì z ∈ R

Cho \(z \in C\)$\mathbb{}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Nếu \(z \in C\backslash R\) thì z là một số thuần ảo.

B. Nếu z là một số thuần ảo thì \(z \in C\backslash R\)$\mathbb{}$

C. Nếu z là một số thuần ảo thì z = |z|

D. Nếu z là một số thuần ảo thì z=z¯¯¯$z=\overline{z}$

Cho các số phức: 2+3i; 1+2i; 2–i

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng

Xác định phần thực và phần thực của các số sau:

\(\begin{array}{l}
a)i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\\
b){(\sqrt {2 + 3i} )^2}\\
c)\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\\
d)i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)
\end{array}\)

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Thực hiện phép tính: 

\(\frac{1}{{2 - 3i}};\frac{1}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}};\frac{{3 - 2i}}{i};\frac{{3 - 4i}}{{4 - i}}\)

Cho \(z = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)

Hãy tính \(\frac{1}{z};\overline z ;{z^2};{\left( {\overline z } \right)^3};1 + z + {z^2}\)

Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)\) phần ảo của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z - \bar z} \right)\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \bar z;\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \bar z + \overline {z'} , \overline {zz'}  = \bar z.\overline {z'} \) và nếu z ≠ 0 thì \(\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} \)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có

\({i^{4m}} = 1;{i^{4m + 1}} = i;{i^{4m + 2}} =  - 1;{i^{4m + 3}} =  - i\)

Chứng minh rằng

a) Nếu vecto \(\vec u\) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\vec u\) là |\(\vec u\)| = |z|, và từ đó nếu các điểm A₁, A₂ theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁; z₂ thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có |zz′| = |z||z′| và khi z ≠ 0 thì \(\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′| ≤ |z| + |z′|.

Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) |z - i| = 1

b) \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1\)

c) \(|z| = \mid \overline z  - 3 + 4i\mid \)

Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có: 

\(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) z² là số thực âm;

b) z² là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)

d) \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) iz + 2 − i = 0                               

b) (2 + 3i)z = z − 1

c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)                 

d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)

e) z² + 4 = 0

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.

a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁, z₂, z₃. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z₁, z₂, z₃  thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₃|

Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z₁ + z₂ + z₃ = 0

Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn  số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.

Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?