Bài tập 4 trang 140 SGK Giải tích 12

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
Xét phương trình: \(az^2+bz+c=0, a \ne 0; (a,b,c \in \mathbb{R}).\)

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)

Trường hợp ∆ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm thực \(z_1,z_2.\) Theo định lý Vi-et ta có:

\(z_1+z_2=-\frac{b}{a}\) và \(z_1.z_2=\frac{c}{a}.\)

Trường hợp ∆ < 0, từ công thức nghiệm:

\(z_1=\frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\),  \(z_2=\frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\) với |∆| = 4ac - b^2.

Ta có: \(z_1+z_2=\frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\).

 \(z_1.z_2=\frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247