Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Phương pháp giải:

Với bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=f(x) ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số, tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x)=0, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y' = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)' = \frac{{x'({x^2} + 1) - ({x^2} + 1)'x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\)

\(= \frac{{{x^2} + 1 - 2{x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \Leftrightarrow 1 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với \(x=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\).

Với \(x=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (1; +\infty).\)

-- Mod Toán 12 HỌC247