Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12

- Để giải câu a, b, c, d của bài 1, các em cùng ôn lại lý thuyết về sự tồn tại tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

+ Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

\(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)

 \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

+ Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

\(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

- Với hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) ta có thể suy ra ngay tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\), tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - \frac{d}{c}\).

Lời giải chi tiết các câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a:

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} =  - \infty \)

nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{2 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{2 - x}} =  - 1\)

nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b:

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty\)

nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1\) 

nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu c:

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ + }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = - \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ - }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = + \infty\) 

nên đường thẳng \(x=\frac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5};\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5}\)

nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y=\frac{2}{5}\) làm tiệm cận ngang.

Câu d:

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - 1;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - 1\) 

nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - \infty\) 

nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

-- Mod Toán 12 HỌC247