Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12

10 trắc nghiệm 9 bài tập SGK 127 hỏi đáp

Qua bài học các em sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).

Tóm tắt lý thuyết

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

  • Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
  • Bước 2: Khảo sát sự biến thiên: 
    • Xét chiều biến thiên của hàm số:
      •  Tính đạo hàm \(f'(x)\). 
      • Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
      •  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
    • Tìm cực trị của hàm số.
    • Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)
  • Bước 3: Vẽ đồ thị
    • Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.
    • Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

  • Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f''(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

2. Những dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)

Hình minh hoạ các dạng đồ thị hàm số bậc ba

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Hình minh hoạ các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)\)

Hình minh hoạ các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất

 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Lời giải:

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • \(y'=3x^2-6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)

  • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
  • Bảng biến thiên: 

Bảng biến thiên hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 2

  • Vậy:
    • Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
    • Hàm số nghịch biến trên \((0;2).\)
    • Hàm số đạt cực đại tại x=0; giá trị cực đại là y=2.
    • Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; giá trị cực tiểu là y=-2.
  • \(y''=6x-6\)
    • ​\(y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0\)
    • Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.
  • Cho: \(x = - 1 \Rightarrow y = - 2;x = 3 \Rightarrow y = 2\)
  • Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 2

Ví dụ 2:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).

Lời giải:

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • \(y' = - 4{x^3} + 4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

  •  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
  • Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên hàm số y = - {x^4} + 2{x^2} + 1

  • Vậy:
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
    • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
    • Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1; giá trị cực đại y=2.
    • Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; giá trị cực tiểu y=1.
  • Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.

\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)

  • Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = - {x^4} + 2{x^2} + 1

Ví dụ 3:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải: 

  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
  • \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\)
    • Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)
    • Hàm số không có cực trị.
  • Ta có:
    •  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng.
    • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
  • Bảng biến thiên: 

Bảng biến thiên hàm số y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}

  • Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng.

Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).

  • Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}

Lời kết

Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi-đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247