Giải tích 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 7 hỏi đáp

Trong chương trình phổ thông các em đã quen với việc một phương trình bậc hai vô nghiệm. Tuy nhiên, các trường hợp vô nghiệm đó do ta chỉ xét phương trình trên tập số thực. Mở rộng ra, trên tập số phức mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nội dung bài giảng sẽ hướng dẫn các em cách giải một phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

  • Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)
  • Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):

  • Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
  • Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
  • Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

2. Nhận xét về nghiệm phương trình bậc hai trên tập số phức

Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

c) \(z^3-27=0\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

Ta có: \({\Delta ^'} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(z=-1+2i;z=-1-2i.\)

b) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*): 

Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)

c) \({z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*):

Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:

\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

 Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)

Với  \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)
Với  \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)

 

-- Mod Toán Học 12 HỌC247