Bài 4: Đường tiệm cận - Giải tích 12

5 trắc nghiệm 2 bài tập SGK 24 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm khái niệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang của đồ thì hàm số, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em biết cách giải được hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Tóm tắt lý thuyết

1. Đường tiệm cận ngang

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

  • \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
  •  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)


b) Chú ý

  • Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\)   có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).
  • Tổng quát: Xét hàm số \(y = \frac{a_nx^n + ... + a_0}{b_mx^m + ... + b_0} \ \ \ m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\). 
    • Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là \(n\leq m.\)
    • Nếu \(n=m\): tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a_n}{b_m}\)
    • Nếu \(n<m\) tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0.\)

2. Đường tiệm cận đứng

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

  • \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
  • \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

b) Chú ý

  • Đường thẳng \(x=a\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = f(x)\) thì a không thuộc tập xác định của \(f(x)\).
  • Đối với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thì a là nghiệm Q(x)=0.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Lời giải:

  • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
  • Ta có: 

​\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)

  • Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
  • Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)

  • Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Lời giải: 

  • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)​
  • Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

  • Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
  • Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

  • Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Lời giải:

  • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)​
  • Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)

  • Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
  • Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)

  • Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
  • Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)

  • Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).

Lời giải: 

  • Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
  • Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
  • Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Lời kết

Để tìm được Tiệm cận đòi hỏi đầu tiên các em cần ôn lại bài Giới hạn hàm số đã được học ở lớp 11. Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra trắc nghiệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi-đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247